Задача 3: Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони і утворює з основою трапеції кут 30°. Знайти площу трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо неї дорівнює R.

Давай решим эту задачу вместе. Нам дана равнобокая трапеция, диагональ которой перпендикулярна к боковой стороне и образует угол 30° с основанием. Также известен радиус описанной окружности R, и нужно найти площадь трапеции.

Сначала сделаем чертёж. Обозначим трапецию как ABCD, где AB и CD - основания, AD и BC - боковые стороны. Пусть диагональ AC перпендикулярна BC и ∠BAC = 30°.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как ∠ACB = 90° и ∠BAC = 30°, то ∠ABC = 60°. Поскольку трапеция равнобокая, углы при основании равны, следовательно, ∠BAD = ∠ABC = 60°.

2. Треугольник ACD тоже прямоугольный, так как диагональ перпендикулярна боковой стороне. Угол CAD = 90° - 30° = 60°.

3. Так как сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°, то ∠BCD = 180° - 60° = 120°.

4. Рассмотрим треугольник ABC. Пусть BC = a (боковая сторона), тогда AC = a * √3 (как катет, лежащий против угла 60° в прямоугольном треугольнике), а AB = 2a (как гипотенуза в прямоугольном треугольнике с углом 30°).

5. Теперь рассмотрим треугольник ADC. Он также прямоугольный, и ∠CAD = 60°. Пусть CD = x (меньшее основание). Тогда AD = BC = a (боковая сторона). Тогда AC = a * √3 = x * 2 (так как катет против угла 30 градусов равен половине гипотенузы).

6. Имеем: a * √3 = 2x, следовательно, x = (a * √3) / 2.

7. Теперь нам нужно найти высоту трапеции. Высота трапеции равна BC = a.

8. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{AB + CD}{2} * BC = \frac{2a + (a\sqrt{3}/2)}{2} * a = \frac{4a + a\sqrt{3}}{4} * a = \frac{a^2(4 + \sqrt{3})}{4}$$.

9. Теперь используем радиус описанной окружности R. Для равнобокой трапеции радиус описанной окружности можно найти по формуле: $$R = \frac{abc}{4S_{\triangle}}$$, где a, b, c – стороны треугольника, образованного боковой стороной, большей стороной и диагональю трапеции, а $$S_{\triangle}$$ – площадь этого треугольника.

10. В нашем случае треугольник ABC, где AB = 2a, BC = a, AC = a * √3. Площадь этого треугольника равна $$\frac{1}{2} * BC * AC = \frac{1}{2} * a * a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$.

11. Тогда $$R = \frac{2a * a * a\sqrt{3}}{4 * (a^2\sqrt{3}/2)} = a$$. Значит, a = R.

12. Подставим a = R в формулу площади трапеции: $$S = \frac{R^2(4 + \sqrt{3})}{4}$$.

Ответ: Площадь трапеции равна $$\frac{R^2(4 + \sqrt{3})}{4}$$