Задача 5. Группа туристов отправилась из лагеря на прогулку к лесному озеру. На графике изображена зависимость расстояния s (в км) группы до лагеря от времени t (в часах) с начала их движения. а) Сколько времени туристы провели на озере? б) С какой скоростью они двигались на пути к озеру? в) С помощью кусочно-линейной функции задайте зависимость расстояния s от времени t.

Решение: а) Чтобы определить, сколько времени туристы провели на озере, нужно посмотреть на график, где расстояние до лагеря не менялось. Это горизонтальный участок графика. Он начинается в точке 2 часа и заканчивается в точке 4 часа. Значит, туристы провели на озере: 4 - 2 = 2 часа б) Чтобы определить скорость на пути к озеру, нужно рассмотреть первый участок графика, где расстояние до лагеря увеличивается. Этот участок начинается в точке 0 и заканчивается в точке 2 часа. Расстояние до лагеря изменилось от 0 до максимального значения. По графику видно, что максимальное расстояние равно 6 км. Скорость находится по формуле: \[v = \frac{s}{t}\] где: * (v) - скорость, * (s) - расстояние, * (t) - время. В нашем случае: * (s = 6) км, * (t = 2) часа. Тогда скорость: \[v = \frac{6}{2} = 3 \text{ км/ч}\] Значит, скорость туристов на пути к озеру была 3 км/ч. в) Чтобы задать зависимость расстояния (s) от времени (t) с помощью кусочно-линейной функции, рассмотрим три участка графика: 1. Первый участок: от 0 до 2 часов. Это прямая линия, начинающаяся в точке (0,0) и заканчивающаяся в точке (2,6). Уравнение прямой имеет вид (s = kt). Подставим координаты точки (2,6) для нахождения (k): \[6 = k \cdot 2 \Rightarrow k = 3\] Следовательно, на этом участке функция имеет вид: \[s(t) = 3t, \quad 0 \le t \le 2\] 2. Второй участок: от 2 до 4 часов. Здесь расстояние (s) не меняется и равно 6 км. Следовательно, на этом участке функция имеет вид: \[s(t) = 6, \quad 2 < t \le 4\] 3. Третий участок: от 4 до 7 часов. Это прямая линия, начинающаяся в точке (4,6) и заканчивающаяся в точке (7,0). Уравнение прямой имеет вид (s = kt + b). Подставим координаты точек (4,6) и (7,0) в уравнение: \[\begin{cases} 6 = 4k + b \\ 0 = 7k + b \end{cases}\] Вычтем из второго уравнения первое: \[-6 = 3k \Rightarrow k = -2\] Подставим (k = -2) в первое уравнение: \[6 = 4 \cdot (-2) + b \Rightarrow 6 = -8 + b \Rightarrow b = 14\] Следовательно, на этом участке функция имеет вид: \[s(t) = -2t + 14, \quad 4 < t \le 7\] Итоговая кусочно-линейная функция: \[s(t) = \begin{cases} 3t, & 0 \le t \le 2 \\ 6, & 2 < t \le 4 \\ -2t + 14, & 4 < t \le 7 \end{cases}\]