Задача 15. Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 32 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найди скорость первого автомобиля. Ответ дай в км/ч.

Пусть (v) - скорость первого автомобиля (км/ч). Пусть (S) - расстояние между А и В (км). Время, за которое первый автомобиль проехал весь путь: \[ t_1 = \frac{S}{v} \] Второй автомобиль первую половину пути проехал со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути со скоростью (v + 32) км/ч. Время, за которое второй автомобиль проехал весь путь: \[ t_2 = \frac{S/2}{48} + \frac{S/2}{v+32} = \frac{S}{96} + \frac{S}{2(v+32)} \] Так как оба автомобиля прибыли в В одновременно, то (t_1 = t_2): \[ \frac{S}{v} = \frac{S}{96} + \frac{S}{2(v+32)} \] Разделим обе части уравнения на (S) (так как (S
eq 0)): \[ \frac{1}{v} = \frac{1}{96} + \frac{1}{2(v+32)} \] Умножим обе части уравнения на (96v(v+32)), чтобы избавиться от дробей: \[ 96(v+32) = v(v+32) + 48v \] \[ 96v + 96 \cdot 32 = v^2 + 32v + 48v \] \[ 96v + 3072 = v^2 + 80v \] \[ v^2 - 16v - 3072 = 0 \] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[ D = (-16)^2 - 4(1)(-3072) = 256 + 12288 = 12544 \] Корень из дискриминанта: \[ \sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112 \] Корни уравнения: \[ v_1 = \frac{16 + 112}{2} = \frac{128}{2} = 64 \] \[ v_2 = \frac{16 - 112}{2} = \frac{-96}{2} = -48 \] Так как скорость не может быть отрицательной, то (v = 64) км/ч. Ответ: 64