Задача 5. Карлсон ест варенье вдвое быстрее, чем Малыш, а торт он ест втрое быстрее, чем Малыш. Однажды они съели банку варенья и торт. Карлсон начал с торта, а Малыш с варенья. Покончив с тортом, Карлсон помог Малышу доесть варенье, и на всё это у них ушло два часа. а) Сколько времени потратил бы Карлсон, чтобы съесть и торт, и варенье в одиночку? б) В другой раз они съели такую же банку варенья и такой же торт, но Малыш ел торт, а Карлсон начал с варенья. Съев его, Карлсон помог Малышу доесть торт. За какое время они управились на этот раз?

Решение: **а) Сколько времени потратил бы Карлсон, чтобы съесть и торт, и варенье в одиночку?** Пусть время, за которое Малыш съедает варенье, равно (x) часов, а время, за которое Малыш съедает торт, равно (y) часов. Тогда Карлсон съедает варенье за (\frac{x}{2}) часов, а торт за (\frac{y}{3}) часов. Время, которое Карлсон потратил бы на поедание и торта, и варенья в одиночку: (\frac{x}{2} + \frac{y}{3}). Из условия задачи про первый раз: Карлсон ел торт, Малыш варенье. Карлсон помог Малышу доесть варенье. Пусть (t_1) – время, когда Карлсон ел торт. Тогда (t_1 = \frac{y}{3}). За это время Малыш съел часть варенья, равную (\frac{t_1}{x} = \frac{y}{3x}). Оставшуюся часть варенья, равную (1 - \frac{y}{3x}), они ели вместе. Карлсон ест варенье в 2 раза быстрее, чем Малыш. Значит, вместе они едят варенье со скоростью, в 3 раза большей, чем Малыш. Время, за которое они доели оставшуюся часть варенья: (\frac{1 - \frac{y}{3x}}{1/x + 1/(2x)} = \frac{x(1 - \frac{y}{3x})}{3/2} = \frac{2x}{3}(1 - \frac{y}{3x}) = \frac{2x}{3} - \frac{2y}{9}). Общее время: (rac{y}{3} + \frac{2x}{3} - \frac{2y}{9} = 2) (два часа). Следовательно, (6x + y = 18). Теперь рассмотрим время, которое потребовалось бы Карлсону на то, чтобы съесть торт и варенье одному: (rac{x}{2} + \frac{y}{3}). Из уравнения (6x + y = 18) выразим (y = 18 - 6x). Подставим это в выражение для времени Карлсона: (rac{x}{2} + \frac{18 - 6x}{3} = \frac{x}{2} + 6 - 2x = 6 - \frac{3x}{2}). К сожалению, без дополнительной информации о том, сколько они съели во второй раз, мы не можем точно определить время, которое Карлсон потратил бы на поедание торта и варенья в одиночку. **Решение (если предположить, что х = 2):** (6x + y = 18), (6*2 + y = 18), (y = 6) Время, которое Карлсон потратит на поедание торта и варенья: (rac{2}{2} + \frac{6}{3} = 1 + 2 = 3) часа. **б) В другой раз они съели такую же банку варенья и такой же торт, но Малыш ел торт, а Карлсон начал с варенья. Съев его, Карлсон помог Малышу доесть торт. За какое время они управились на этот раз?** Пусть (t_2) – время, когда Малыш ел торт. Тогда (t_2 = y). За это время Карлсон съел часть варенья, равную (rac{t_2}{x/2} = rac{2y}{x}). Оставшуюся часть торта, равную (1 - \frac{2y}{x}), они ели вместе. Вместе они едят торт со скоростью, в 4 раза большей, чем Малыш. Время, за которое они доели оставшуюся часть торта: (rac{1 - \frac{2y}{x}}{1/y + 1/(3y)} = \frac{y(1 - \frac{2y}{x})}{4/3} = \frac{3y}{4}(1 - \frac{2y}{x}) = \frac{3y}{4} - \frac{3y^2}{2x}). Общее время: (x/2 + \frac{3y}{4} - \frac{3y^2}{2x}). Общее время: (\frac{x}{2} + \frac{3y}{4} - \frac{3y^2}{2x}) Снова используем (6x + y = 18), (x = (18-y)/6). (\frac{(18-y)/6}{2} + \frac{3y}{4} - \frac{3y^2}{2(18-y)/6} = \frac{18-y}{12} + \frac{3y}{4} - \frac{9y^2}{18-y}). Без дополнительных данных решение не представляется возможным. **Развернутый ответ:** Задача включает в себя два подпункта, каждый из которых описывает сценарий поедания варенья и торта Карлсоном и Малышом. Основная сложность заключается в том, чтобы правильно учесть скорости поедания каждого продукта каждым из персонажей и составить уравнения, отражающие заданные условия. Без дополнительных предположений или упрощений, точное решение получить затруднительно. Важно четко понимать, что время, которое тратится на совместное поедание, зависит от индивидуальных скоростей.