Задача 5. Маленький шарик, подвешенный на нити, может вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси О. Экспериментатор обнаружил, что наименьшая скорость, которую нужно сообщить шарику, чтобы он достиг верхней точки траектории (точки А), равна V₁=15 м/с. Затем экспериментатор заменил нить лёгким стержнем той же длины, который может без трения вращаться вокруг оси О. Какую минимальную скорость нужно сообщить шарику теперь, чтобы он достиг точки А?

Для решения этой задачи нам потребуется использовать законы сохранения энергии и понятие центростремительного ускорения. Случай 1: Шарик на нити В верхней точке траектории (точка A) на шарик действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Для того чтобы шарик достиг этой точки, центростремительное ускорение должно быть не меньше ускорения свободного падения. Запишем это условие: $$ \frac{V_A^2}{R} \geq g $$ где: * $$V_A$$ - скорость шарика в верхней точке A, * $$R$$ - радиус траектории (длина нити), * $$g$$ - ускорение свободного падения (приближенно 9.8 м/с²). В этом случае, когда шарик подвешен на нити, минимальная скорость в верхней точке равна нулю ($$V_A = 0$$). Это означает, что вся кинетическая энергия, которую мы сообщаем шарику в нижней точке, должна быть достаточной для преодоления разности потенциальных энергий между нижней и верхней точками. Запишем закон сохранения энергии: $$ \frac{mV_1^2}{2} = mg(2R) + \frac{mV_A^2}{2} $$ Так как $$V_A$$ минимальна, то $$V_A \approx 0$$, тогда: $$ \frac{mV_1^2}{2} = 2mgR $$ $$ V_1^2 = 4gR $$ $$ R = \frac{V_1^2}{4g} $$ Подставим значение $$V_1 = 15$$ м/с: $$ R = \frac{15^2}{4 \cdot 9.8} = \frac{225}{39.2} \approx 5.74 \text{ м} $$ Случай 2: Шарик на стержне Теперь шарик прикреплен к стержню. В этом случае, в верхней точке скорость может быть равна нулю, так как стержень может удерживать шарик от падения. Закон сохранения энергии выглядит так: $$ \frac{mV_2^2}{2} = mg(2R) $$ где $$V_2$$ - минимальная скорость, которую нужно сообщить шарику в нижней точке, чтобы он достиг верхней точки. Выразим $$V_2$$: $$ V_2^2 = 4gR $$ $$ V_2 = \sqrt{4gR} $$ Подставим найденное значение $$R$$: $$ V_2 = \sqrt{4 \cdot 9.8 \cdot 5.74} = \sqrt{225.472} \approx 15.01 \text{ м/с} $$ Однако, более простой способ решения, заметив, что в случае со стержнем шарик может иметь нулевую скорость в верхней точке, тогда закон сохранения энергии можно записать как: $$ \frac{mV_2^2}{2} = mg(2R) $$ $$ V_2 = \sqrt{4gR} $$ А так как $$V_1 = \sqrt{4gR}$$ (из первого случая, когда $$V_A = 0$$), то $$V_2 = \sqrt{gR}$$. Теперь учтем, что в первом случае $$V_1^2 = 5gR$$, тогда $$R = \frac{V_1^2}{5g}$$. Подставим это во второе уравнение: $$ V_2 = \sqrt{2g \cdot \frac{V_1^2}{g}} = \sqrt{2gR} $$ Тогда: $$V_2 = \sqrt{4gR}$$ $$ V_2 = \sqrt{4 \cdot 9.8 \cdot \frac{225}{39.2}} = \sqrt{225} = 15 \text{ м/с}$$ В условии задачи указано, что $$V_1 = 15 м/с$$. Тогда из закона сохранения энергии: $$\frac{mV_1^2}{2} = mg * 2R + \frac{mV_A^2}{2}$$, где $$V_A$$ - скорость шарика в верхней точке. Так как наименьшая скорость, то $$\frac{mV_A^2}{2} = 0$$. Для второго случая: $$\frac{mV_2^2}{2} = mg * 2R => V_2 = \sqrt{4gR}$$. Выразим радиус из первого случая $$R = \frac{V_1^2}{4g}$$. $$V_2 = \sqrt{4g * \frac{V_1^2}{4g}} = V_1 = 15 м/c$$. Ответ: Ответ: 15 м/с