Задача 6: Маша задумала натуральное число. Когда она выписала все делители этого числа, включая единицу и само число, то оказалось, что чётных делителей 16, а наибольший нечётный делитель равен 15. Какое число задумала Маша?

Решение: 1. Обозначим задуманное Машей число как $$N$$. 2. Из условия задачи известно, что наибольший нечётный делитель числа $$N$$ равен 15. Это означает, что $$N$$ делится на 15. Разложим 15 на простые множители: $$15 = 3 \cdot 5$$. 3. Также известно, что число $$N$$ имеет 16 чётных делителей. Поскольку $$N$$ делится на 15, то $$N$$ можно представить в виде $$N = 2^k \cdot 3 \cdot 5$$, где $$k$$ - некоторая степень двойки. 4. Общее количество делителей числа $$N$$ равно $$(k+1)(1+1)(1+1) = 4(k+1)$$. 5. Количество нечётных делителей числа $$N$$ равно $$(1+1)(1+1) = 4$$ (это делители 1, 3, 5 и 15). 6. Количество чётных делителей равно общему количеству делителей минус количество нечётных делителей: $$4(k+1) - 4 = 16$$. 7. Решим уравнение: $$4(k+1) - 4 = 16 \Rightarrow 4k + 4 - 4 = 16 \Rightarrow 4k = 16 \Rightarrow k = 4$$. 8. Таким образом, $$N = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 \cdot 15 = 240$$. Ответ: **240** Развернутый ответ для школьника: Чтобы решить эту задачу, нужно понимать, что такое делители числа. Делители числа - это числа, на которые исходное число делится без остатка. Чётные делители - это те, которые делятся на 2, а нечётные - те, которые на 2 не делятся. Мы знаем, что наибольший нечётный делитель - это 15. Это значит, что число делится на 15, то есть содержит множители 3 и 5 ($$15 = 3 \times 5$$). Теперь нам нужно найти, сколько раз число делится на 2. Для этого мы используем информацию о количестве чётных делителей. Мы знаем, что их 16. Мы представили число в виде $$2^k \times 3 \times 5$$. Количество всех делителей находится как $$(k+1) \times (1+1) \times (1+1)$$, а количество нечётных - $$(1+1) \times (1+1) = 4$$. Разница между ними и есть количество чётных делителей, то есть $$4(k+1) - 4 = 16$$. Решив это уравнение, мы находим, что $$k = 4$$. Значит, число содержит $$2^4 = 16$$. Итак, число равно $$16 \times 3 \times 5 = 240$$.