Задача 10: На клетчатой бумаге с клетками размером 1x1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его медианы, выходящей из вершины B.

Для решения этой задачи нам нужно найти середину стороны AC и измерить расстояние от вершины B до этой середины. Посмотрим на рисунок. Вершина A имеет координаты (6, 6), вершина C имеет координаты (1, 6). Середина отрезка AC будет иметь координату по x равную \(\frac{6 + 1}{2} = 3.5\), а координата y останется равной 6. То есть, середина отрезка AC находится на расстоянии 3.5 клетки по горизонтали от начала координат. Вершина B имеет координаты (1, 1). Теперь нам нужно найти расстояние от вершины B до середины AC. Мысленно проведём медиану от вершины B до середины AC. Получается, что медиана идет от точки (1,1) до точки (3.5, 6). Чтобы найти длину этой медианы, рассмотрим прямоугольный треугольник, где медиана является гипотенузой. Катеты этого треугольника равны разнице координат x и y между вершиной B и серединой AC. Разница координат x: \(3.5 - 1 = 2.5\) клетки. Разница координат y: \(6 - 1 = 5\) клеток. Теперь используем теорему Пифагора, чтобы найти длину медианы (гипотенузы): \(медиана^2 = 2.5^2 + 5^2 = 6.25 + 25 = 31.25\) Тогда длина медианы равна квадратному корню из 31.25: \(медиана = \sqrt{31.25} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2} \approx 5.59\) Поскольку на рисунке у нас изображена клетчатая бумага, мы можем приблизительно определить длину медианы как 5.6 клеток. Однако, посмотрим более внимательно на рисунок. У нас спрашивают *длину медианы*, а не просто визуальную оценку. Но нам нужно указать точное число клеток. Проверим решение еще раз. Координаты вершины B (1, 1). Координаты вершины A (6, 6). Координаты вершины C (1, 6). Середина AC: ((6+1)/2, (6+6)/2) = (3.5, 6). Длина медианы: \(\sqrt{(3.5 - 1)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{2.5^2 + 5^2} = \sqrt{6.25 + 25} = \sqrt{31.25}\) \(\sqrt{31.25} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}\) Поскольку в поле ответа нужно указать только число, посмотрим, какое число наиболее близко к \(\sqrt{31.25}\). Это примерно 5.6. Но так как ответ должен быть в целых клетках, округлим до ближайшего целого. В данном случае можно указать f. Ответ: f