Задача 40: На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Найдите косинус угла между ними.

Для решения этой задачи нам нужно найти координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а затем использовать формулу для нахождения косинуса угла между ними. 1. **Определение координат векторов:** * Вектор \(\vec{a}\) начинается в точке (2, 3) и заканчивается в точке (5, 4). Следовательно, его координаты: \(\vec{a} = (5 - 2, 4 - 3) = (3, 1)\). * Вектор \(\vec{b}\) начинается в точке (1, 2) и заканчивается в точке (6, 3). Следовательно, его координаты: \(\vec{b} = (6 - 1, 3 - 2) = (5, 1)\). 2. **Формула для косинуса угла между векторами:** \(\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\) где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - их длины. 3. **Вычисление скалярного произведения:** \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (3 \cdot 5) + (1 \cdot 1) = 15 + 1 = 16\) 4. **Вычисление длин векторов:** \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\) \(|\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\) 5. **Подстановка в формулу для косинуса угла:** \(\cos(\theta) = \frac{16}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{26}} = \frac{16}{\sqrt{260}} = \frac{16}{\sqrt{4 \cdot 65}} = \frac{16}{2\sqrt{65}} = \frac{8}{\sqrt{65}}\) 6. **Рационализация знаменателя (необязательно, но рекомендуется):** \(\cos(\theta) = \frac{8}{\sqrt{65}} \cdot \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}} = \frac{8\sqrt{65}}{65}\) **Ответ:** Косинус угла между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(\frac{8\sqrt{65}}{65}\) или \(\frac{8}{\sqrt{65}}\). **Объяснение для учеников:** Чтобы найти косинус угла между двумя векторами, мы сначала определяем координаты каждого вектора, вычитая координаты начальной точки из координат конечной точки. Затем используем формулу, которая связывает косинус угла с скалярным произведением векторов и их длинами. Скалярное произведение находится путем умножения соответствующих координат векторов и сложения результатов. Длина вектора вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат. Подставляем полученные значения в формулу и упрощаем выражение, чтобы получить окончательный ответ. Рационализация знаменателя (избавление от квадратного корня в знаменателе) делает ответ более аккуратным, хотя и не является обязательным шагом.