Задача 9: На продолжении стороны AD параллелограмма ABCD за точкой D отмечена точка E так, что DC = DE. Докажите, что угол EAB равен углу СВА.

1. **Анализ условия:** Дано: ABCD - параллелограмм, E лежит на продолжении AD за D, DC = DE. Доказать: \(\angle EAB = \angle CBA\). 2. **Доказательство:** * Так как ABCD - параллелограмм, то \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD\). Также \(AB = CD\) и \(BC = AD\). * Поскольку \(DC = DE\), треугольник DCE - равнобедренный. * \(\angle CDE\) и \(\angle ADE\) - смежные, поэтому \(\angle CDE + \angle ADE = 180^\circ\). * Так как \(ABCD\) - параллелограмм, \(\angle ADC + \angle BCD = 180^\circ\). Следовательно, \(\angle CDE = \angle BCD\). * В равнобедренном треугольнике DCE, \(\angle DEC = \angle DCE = \frac{180^\circ - \angle CDE}{2}\). * \(\angle EAB\) и \(\angle DEC\) являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) (или DE) и секущей AE, следовательно, \(\angle EAB = \angle DEC\). * \(\angle CBA\) и \(\angle ADC\) - углы параллелограмма, следовательно \(\angle CBA = \angle ADC\). Так как \(\angle ADC = 180^\circ - \angle CDE\), то \(\angle CBA = 180^\circ - \angle CDE\). * Мы знаем, что \(\angle EAB = \angle DEC = \frac{180^\circ - \angle CDE}{2}\). *Рассмотрим \(\angle EAD = 180^\circ\), так как это развернутый угол. Тогда \(\angle EAB = \angle EAD - \angle DAB\). Так как \(\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ\), то \(\angle DAB = 180^\circ - \angle CBA\). *Тогда \(\angle EAB = 180^\circ - (180^\circ - \angle CBA) = \angle CBA\). Следовательно, \(\angle EAB = \angle CBA\). Что и требовалось доказать.