Задача № 56 На рисунке к задаче точка О – середина отрезка АВ, АТ = ВР, ∠OAT = = ∠ОВР. Докажите, что точка О – середина отрезка РТ.

Для доказательства того, что точка O является серединой отрезка PT, рассмотрим треугольники AOT и BOP. 1. По условию задачи, AT = BP. 2. По условию задачи, углы ∠OAT = ∠OBP. 3. Так как точка O – середина отрезка AB, то AO = BO. Теперь, учитывая вышесказанное, мы видим, что треугольники AOT и BOP равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): AT = BP, AO = BO и ∠OAT = ∠OBP. Из равенства треугольников AOT и BOP следует, что соответствующие стороны и углы этих треугольников равны. В частности, OT = OP. Так как OT = OP, это означает, что точка O делит отрезок PT на две равные части. Следовательно, точка O является серединой отрезка PT. Что и требовалось доказать.