Задача 17: Найдите наибольшее четырёхзначное натуральное число, у которого произведение цифр — двузначное число, а произведение цифр произведения цифр равно 24.

Решение: Чтобы найти наибольшее четырёхзначное число, нужно начинать с максимально возможной первой цифры (тысяч) и далее подбирать остальные цифры так, чтобы выполнялись условия задачи. 1. Пусть первая цифра 9. Тогда произведение оставшихся трех цифр должно быть равно \( \frac{24}{9} \), но это не целое число, поэтому 9 не подходит. 2. Пусть первая цифра 8. Тогда произведение оставшихся трех цифр должно быть равно 3. Чтобы число было наибольшим, нужно чтобы последующие цифры были наибольшими. * Это возможно только если остальные цифры 1, 1, 3 (в любом порядке). Чтобы число было наибольшим, это должно быть 8311. * Проверка: 8 * 3 * 1 * 1 = 24; 2 * 4 = 8 (не 24). 3. Пусть первая цифра 6. Тогда произведение оставшихся трех цифр должно быть равно 4. Чтобы число было наибольшим, нужно чтобы последующие цифры были наибольшими. * 6 * 2 * 2 * 1 = 24; 2 * 4 = 8 (не 24). * 6 * 4 * 1 * 1 = 24; 2 * 4 = 8 (не 24). 4. Рассмотрим число, у которого произведение цифр двузначное число, произведение цифр которого равно 24. Разложим 24 на простые множители: \( 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \). Возможные варианты двузначных чисел, произведение цифр которых равно 24: * 38 (3 * 8 = 24) * 46 (4 * 6 = 24) * 64 (6 * 4 = 24) * 83 (8 * 3 = 24) Чтобы получить наибольшее четырехзначное число, нам нужно использовать как можно большие цифры. Попробуем число, начинающееся с 9. Чтобы получить двузначное число, произведение цифр должно быть 38, 46, 64 или 83. Если произведение цифр 38, то это не возможно, так как 38 нельзя разложить на 3 множителя меньше 10. Если произведение цифр 46, то это не возможно, так как 46 нельзя разложить на 3 множителя меньше 10. Если произведение цифр 64, то это не возможно, так как 64 нельзя разложить на 3 множителя меньше 10. Если произведение цифр 83, то это не возможно, так как 83 нельзя разложить на 3 множителя меньше 10. Если мы рассмотрим варианты для 3 цифр: 8, 3, 1. Число 8311 не подходит, так как произведение 8*3*1*1 = 24, а произведение 2*4 = 8. Пробуем комбинации, чтобы получить 46: 2, 3, 7.66 (не подходит). Пробуем комбинации, чтобы получить 64: 8, 8, 1 (не подходит). Пробуем комбинации, чтобы получить 83: Нет комбинаций. Рассмотрим число 9226. Произведение 9*2*2*6 = 216. Произведение 2*1*6 = 12 (не подходит) Теперь рассмотрим число 8311. Произведение 8*3*1*1 = 24. Произведение 2*4 = 8 (не подходит) Чтобы произведение было равно 46 или 64 (произведение цифр 24), такое число будет меньше. Похоже, что наибольшее число это 9226 не проходит. Тогда нужно искать другие варианты, используя меньшие цифры на первом месте. Не существует такого четырехзначного натурального числа, удовлетворяющего условиям. Ответ: **Не существует**