Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами y = x², y = 2x - x² и осью Ox.

Привет, ребята! Давайте решим задачу на нахождение площади фигуры. **1. Понимание задачи** Нам нужно найти площадь фигуры, которая ограничена тремя линиями: * Параболой y = x² * Параболой y = 2x - x² * Осью Ox (то есть линией y = 0) **2. Нахождение точек пересечения** Чтобы понять, как выглядит фигура и какие пределы интегрирования использовать, нужно найти точки пересечения этих линий. * **Пересечение парабол y = x² и y = 2x - x²:** Нужно решить уравнение x² = 2x - x². Перенесем все в одну сторону: 2x² - 2x = 0. Вынесем общий множитель: 2x(x - 1) = 0. Значит, x = 0 или x = 1. Это абсциссы точек пересечения парабол. * **Пересечение параболы y = 2x - x² с осью Ox (y = 0):** Нужно решить уравнение 2x - x² = 0. Вынесем общий множитель: x(2 - x) = 0. Значит, x = 0 или x = 2. * **Пересечение параболы y = x² с осью Ox (y = 0):** Нужно решить уравнение x² = 0. Значит, x = 0. **3. Определение границ интегрирования** Теперь мы знаем, что: * Параболы y = x² и y = 2x - x² пересекаются в точках x = 0 и x = 1. * Парабола y = 2x - x² пересекает ось Ox в точках x = 0 и x = 2. * Парабола y = x² пересекает ось Ox в точке x = 0. Исходя из этого, фигура состоит из двух частей: * **Часть 1:** Ограничена параболами y = x² и y = 2x - x² от x = 0 до x = 1. * **Часть 2:** Ограничена параболой y = 2x - x² и осью Ox от x = 1 до x = 2. **4. Вычисление площадей** * **Площадь Части 1 (S₁):** Чтобы найти площадь между двумя кривыми, нужно из верхней функции вычесть нижнюю и проинтегрировать в заданных пределах. В этом случае верхняя функция y = 2x - x², а нижняя y = x². \( S_1 = \int_{0}^{1} (2x - x^2 - x^2) dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx \) Найдем интеграл: \( S_1 = [x^2 - \frac{2}{3}x^3]_{0}^{1} = (1^2 - \frac{2}{3} * 1^3) - (0^2 - \frac{2}{3} * 0^3) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \) * **Площадь Части 2 (S₂):** Здесь верхняя функция y = 2x - x², а нижняя y = 0 (ось Ox). \( S_2 = \int_{1}^{2} (2x - x^2) dx \) Найдем интеграл: \( S_2 = [x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{1}^{2} = (2^2 - \frac{1}{3} * 2^3) - (1^2 - \frac{1}{3} * 1^3) = (4 - \frac{8}{3}) - (1 - \frac{1}{3}) = 4 - \frac{8}{3} - 1 + \frac{1}{3} = 3 - \frac{7}{3} = \frac{2}{3} \) **5. Нахождение общей площади** Общая площадь (S) равна сумме площадей Части 1 и Части 2: \( S = S_1 + S_2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1 \) **Ответ:** Площадь фигуры равна 1. Надеюсь, это объяснение поможет вам разобраться в решении этой задачи! Удачи в учебе!