Задача 12. Одновременно зажгли три свечи одинаковой длины, но разного диаметра. Длина каждой свечи 20 см. Первая свеча была самая толстая, вторая - потоньше, а третья - самая тонкая. В тот момент, когда догорела третья свеча, первую и вторую тоже потушили. Оказалось, что огарок от первой свечи в три раза длиннее, чем от второй. За какое время полностью сгорает третья свеча, если известно, что первая сгорает за 10 ч, а вторая за 5 ч?

Решение: Пусть $$x$$ - время, в течение которого горели все три свечи до момента, когда третья догорела. Пусть $$L$$ - длина каждой свечи (20 см). Скорость горения первой свечи: $$v_1 = \frac{L}{10}$$. Скорость горения второй свечи: $$v_2 = \frac{L}{5}$$. К моменту, когда третья свеча догорела, первая свеча сгорела на $$v_1 \cdot x = \frac{Lx}{10}$$, а вторая - на $$v_2 \cdot x = \frac{Lx}{5}$$. Остаток первой свечи: $$L - \frac{Lx}{10}$$. Остаток второй свечи: $$L - \frac{Lx}{5}$$. По условию, огарок от первой свечи в 3 раза длиннее, чем от второй, то есть: $$L - \frac{Lx}{10} = 3(L - \frac{Lx}{5})$$ $$L - \frac{Lx}{10} = 3L - \frac{3Lx}{5}$$ $$2L = \frac{3Lx}{5} - \frac{Lx}{10}$$ $$2L = \frac{6Lx - Lx}{10}$$ $$2L = \frac{5Lx}{10}$$ $$2L = \frac{Lx}{2}$$ $$x = \frac{2L \cdot 2}{L} = 4$$ Таким образом, все три свечи горели 4 часа, пока третья не сгорела полностью. Следовательно, третья свеча сгорает за 4 часа. Ответ: **4 часа**