Задача 7: Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 21 см, а высота - 8 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции (в сантиметрах). Ответ запишите без наименований в виде целого числа либо конечной десятичной дроби.

Рассмотрим равнобокую трапецию ABCD, где основания AD = 21 см, BC = 9 см, высота BH = 8 см. Так как трапеция равнобокая, AB = CD. 1. Проведем высоту CK. Тогда AK = (AD - BC) / 2 = (21 - 9) / 2 = 12 / 2 = 6 см. 2. В прямоугольном треугольнике ABH найдем боковую сторону AB по теореме Пифагора: (AB = \sqrt{BH^2 + AH^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10) см. 3. Так как трапеция ABCD вписана в окружность, то около нее можно описать окружность. В этом случае трапеция является равнобокой и выполняется условие: AB + CD = BC + AD, что в нашем случае 10+10=9+21, 20=30. Трапецию можно вписать в окружность, если она равнобедренная. 4. Найдем радиус описанной окружности. Для этого рассмотрим треугольник ABD. Радиус описанной окружности вокруг трапеции равен радиусу описанной окружности вокруг треугольника ABD. Воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности: (R = \frac{abc}{4S}\), где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника. Для треугольника ABD имеем: AD = 21 см, AB = 10 см, BD - диагональ трапеции. 5. Найдем диагональ BD. Рассмотрим треугольник AHD, где HD = AD - AH = 21-6 = 15. Тогда (BD=\sqrt{8^2+15^2} = \sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17). 6. Найдем площадь треугольника ABD: S = 0.5 * AD * BH = 0.5 * 21 * 8 = 84 кв. см. 7. Радиус описанной окружности (R = \frac{10 * 17 * 21}{4 * 84} = \frac{3570}{336} = 10.625\) см. Ответ: **10.625**