Задача 2. Построить середину данного отрезка. Дано: AB - отрезок. Построить: O - середина AB; OA = OB. Доказательство: Треугольник APQ = треугольнику BPQ (по трем сторонам), так как: 1) AP = BP; 2) AQ = BQ; 3) PQ - общая. Следовательно, угол 1 = углу 2. Значит, PO - биссектриса равнобедренного треугольника APB. Значит, PO и медиана треугольника APB. То есть, O - середина AB.

Решение задачи состоит в доказательстве того, что точка O, построенная как пересечение отрезка AB и отрезка PQ, является серединой отрезка AB. Дано: * Отрезок AB Построить: * Точку O – середину отрезка AB, т.е. OA = OB Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники APQ и BPQ. У них: * AP = BP (по построению) * AQ = BQ (по построению) * PQ – общая сторона Следовательно, \(\triangle APQ = \triangle BPQ\) по трем сторонам. 2. Из равенства треугольников APQ и BPQ следует равенство углов \(\angle 1 = \angle 2\). 3. Рассмотрим равнобедренный треугольник APB (так как AP = BP). Отрезок PO является биссектрисой угла APB (так как \(\angle 1 = \angle 2\)). 4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, также является медианой. Значит, PO – медиана треугольника APB, и точка O делит отрезок AB пополам, т.е. OA = OB. Таким образом, точка O является серединой отрезка AB. Что и требовалось доказать.