Задача 22: Постройте график функции $$y = 3|x + 8| - x^2 - 14x - 48$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = 3|x + 8| - x^2 - 14x - 48$$. Раскроем модуль: 1. Если $$x \geq -8$$, то $$|x + 8| = x + 8$$, и функция примет вид: $$y = 3(x + 8) - x^2 - 14x - 48 = 3x + 24 - x^2 - 14x - 48 = -x^2 - 11x - 24$$ 2. Если $$x < -8$$, то $$|x + 8| = -(x + 8)$$, и функция примет вид: $$y = -3(x + 8) - x^2 - 14x - 48 = -3x - 24 - x^2 - 14x - 48 = -x^2 - 17x - 72$$ Теперь рассмотрим каждую ветвь отдельно: 1. Для $$x \geq -8$$: $$y = -x^2 - 11x - 24$$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-11}{2(-1)} = -\frac{11}{2} = -5.5$$ $$y_v = -(-5.5)^2 - 11(-5.5) - 24 = -30.25 + 60.5 - 24 = 6.25$$ Итак, вершина параболы - $$(-5.5, 6.25)$$. 2. Для $$x < -8$$: $$y = -x^2 - 17x - 72$$. Это тоже парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-17}{2(-1)} = -\frac{17}{2} = -8.5$$ $$y_v = -(-8.5)^2 - 17(-8.5) - 72 = -72.25 + 144.5 - 72 = 0.25$$ Итак, вершина параболы - $$(-8.5, 0.25)$$. Теперь найдем значение функции в точке $$x = -8$$: $$y(-8) = -(-8)^2 - 11(-8) - 24 = -64 + 88 - 24 = 0$$ $$y(-8) = -(-8)^2 - 17(-8) - 72 = -64 + 136 - 72 = 0$$ Соединяем две параболы в точке $$x = -8$$ с $$y = 0$$. Чтобы прямая $$y = m$$ имела ровно три общие точки с графиком функции, она должна проходить либо через вершину одной из парабол и точку соединения парабол ($$x=-8, y=0$$), либо касаться одной из ветвей парабол. Прямая $$y = 0$$ проходит через точку соединения, и ветвь $$x\geq -8$$ параболы. Имеет три общие точки. $$m = 6.25$$ и $$m = 0.25$$ не подходят. Рассмотрим $$m = 0$$. Прямая $$y=0$$ имеет три точки пересечения с графиком. (x=-8,x=-3, x=-24) Чтобы прямая $$y=m$$ имела ровно три точки с графиком, надо решить, когда такое возможно. Построим график кусочной функции: y = -x^2 - 11x - 24 при x >= -8, y = -x^2 - 17x - 72 при x < -8. Рассмотрим несколько случаев: 1) m = y(-8) = 0: тогда x = -8 и y = 0 это первая точка пересечения. y = -x^2 - 11x - 24 = 0. Решаем квадратное уравнение: x^2 + 11x + 24 = 0. D = 121 - 96 = 25 = 5^2. x1 = (-11 + 5)/2 = -3. x2 = (-11 - 5)/2 = -8. Другой корень: x2 = -8. У нас уже есть два корня. Теперь проверим y = -x^2 - 17x - 72 = 0. x^2 + 17x + 72 = 0 D = 289 - 288 = 1 x1 = (-17+1)/2 = -8 x2 = (-17 - 1)/2 = -9. x=-9. Т.е. $$y=0$$ имеет ровно три точки пересечения x=-3; -8;-9. Т.е m =0 подходит. 2) m = 6.25.Тогда пересечение будет только в этой точке. И еще двух. (то есть три). Это максимальное значение функции. 3)Если провести y = 0.25 то тоже будут только 3 точки пересечения. В $$(-8.5;0.25)$$ + две еще. **Ответ:** $$m = 0$$. **Разъяснение для ученика:** 1. Разберите функцию на две ветви, в зависимости от знака выражения под модулем. 2. Найдите вершины парабол для каждой ветви. 3. Проверьте значение функции в точке стыка ветвей (x = -8). 4. Определите, при каких значениях m (ордината горизонтальной прямой) прямая y = m пересекает график ровно в трёх точках (это случаи, когда прямая проходит либо через вершину одной из парабол, либо через точку стыка ветвей). В данном случае, чтобы прямая ( y = m ) имела ровно три общие точки с графиком функции, необходимо рассмотреть, когда m равно ординате точки стыка, то есть ( m = 0 ).