Задача 16: Про пешехода и велосипедиста

Пусть расстояние от деревни до станции равно (x) км. Обозначим скорость пешехода как (v_п) км/ч, а скорость велосипедиста как (v_в) км/ч. 1. **Время до встречи:** Когда велосипедист доехал до станции, он потратил время (x/v_в). Затем он поехал обратно и встретил пешехода. Пешеход за это время прошел расстояние (x - 7) км. Время, которое пешеход шел до встречи: (t = (x-7)/v_п). 2. **Расстояние, которое проехал велосипедист до встречи с пешеходом:** (x - 7). Общее расстояние, которое проехал велосипедист: (x + (x-7) = 2x - 7) км. Общее время велосипедиста равно ((2x - 7) / v_в). 3. **Уравнение времени:** Время, которое велосипедист потратил на всю дорогу, равно времени, которое пешеход потратил на дорогу до станции. То есть, ((2x - 7) / v_в = x / v_п). 4. **Скорость:** Из условия задачи можно также сказать, что время, которое пешеход потратил до момента встречи, равняется времени, которое велосипедист потратил до станции, то есть ((x-7)/v_п = x / v_в). 5. **Решение системы:** Делим первое уравнение на второе: \(\frac{(2x - 7)/v_в}{(x - 7)/v_п} = \frac{x/v_п}{x/v_в}\) \(\frac{2x - 7}{x - 7} \cdot \frac{v_п}{v_в} = \frac{x}{x} \cdot \frac{v_п}{v_в}\) \(\frac{2x - 7}{x - 7} = 1\) (2x - 7 = x - 7), следовательно, (x = 0). Это не имеет смысла. Ошибка в рассуждениях. Нужно исходить из другого. Пусть (t_1) - время, когда велосипедист доехал от деревни до станции. Тогда (x = v_в t_1), где (x) - расстояние от деревни до станции. Так как пешеход и велосипедист вышли одновременно, и пешеход дошел до станции в тот момент, когда велосипедист вернулся в деревню, то время в пути у них одинаковое, т.е., (T = x / v_п). Велосипедист проехал до станции и обратно, то есть, он проехал расстояние (2x) за время (T). Значит, (T = 2x / v_в). Получаем: \(x/v_п = 2x/v_в\) \(v_в = 2v_п\) Пусть (t_2) - время от старта до встречи велосипедиста с пешеходом на обратном пути. Тогда велосипедист проехал расстояние (x + (x - 7)), а пешеход (x-7). Велосипедист проехал это расстояние за время (t_2), а пешеход прошел расстояние (x-7) за время (t_2). Получаем: \(x + x - 7 = v_в t_2\) \(x - 7 = v_п t_2\) Подставим (v_в = 2v_п) в первое уравнение: \(2x - 7 = 2v_п t_2\) \(x - 7 = v_п t_2\) Разделим первое на второе: \(\frac{2x - 7}{x - 7} = 2\) \(2x - 7 = 2(x-7)\) \(2x - 7 = 2x - 14\) \(7 = 0\) (Опять неверно) Все проще! Пусть t - время от начала движения до встречи велосипедиста и пешехода. К этому моменту пешеход прошел x - 7 км. Велосипедист проехал x км до станции и x - 7 км обратно. Т.к. скорость велосипедиста в 2 раза больше, чем скорость пешехода, то 2 * (x - 7) = x + x - 7. Получаем: 2x - 14 = 2x - 7. -14 = -7 (Опять неверно). **Решение:** Пусть расстояние от деревни до станции равно (S) км. Когда велосипедист доехал до станции и повернул обратно, пешеход ещё не дошёл до станции, а находился в (7) км от неё. Это означает, что велосипедист проехал расстояние (S) до станции и (S-7) обратно до встречи с пешеходом. Общее расстояние, которое проехал велосипедист, равно (2S-7). Пешеход к моменту встречи прошёл расстояние (S-7). Так как велосипедист выехал из деревни одновременно с пешеходом и вернулся в деревню одновременно с приходом пешехода в станцию, время в пути велосипедиста до возвращения в деревню в два раза меньше времени в пути пешехода до станции. Значит, время от начала движения до встречи в два раза меньше времени пешехода до станции. Отношение расстояний равно отношению скоростей. Значит, скорость велосипедиста в два раза больше скорости пешехода. Поскольку время до встречи одинаково для них обоих (от момента выезда до встречи), расстояние, пройденное велосипедистом до встречи, в два раза больше расстояния, пройденного пешеходом до встречи. То есть: (2S - 7 = 2(S - 7)) (2S - 7 = 2S - 14) (-7 = -14) (Ошибка) Пусть х - расстояние от деревни до станции. Велосипедист проехал х км до станции и вернулся обратно. Когда он встретил пешехода, пешеходу оставалось 7 км до станции. Значит, пешеход прошел х-7 км. Велосипедист проехал до встречи с пешеходом х + (х-7) = 2х-7 км. Так как скорость велосипедиста в два раза больше скорости пешехода, то путь велосипедиста должен быть в два раза больше пути пешехода. Получается уравнение: 2х-7 = 2(х-7) 2х-7 = 2х - 14 -7 = -14 (противоречие) Значит, велосипедист затратил на путь до станции в два раза меньше времени, чем пешеход до момента встречи с ним на обратном пути. Так как время до встречи в два раза меньше, чем время до станции для пешехода: (S-7 = x), где S - расстояние от деревни до станции, a x - путь до встречи. Значит, время до встречи равно x, a время до станции 2x. Тогда, 2 * (x-7) = x + (x-7) => 2x = 2x. Все равно не сходится! *Но есть другой подход.* Рассмотрим момент времени, когда велосипедист достиг станции. В этот момент пешеход находится на расстоянии (x-y), где y – это расстояние, которое пешеход прошёл к этому моменту, а x - расстояние от деревни до станции. После этого велосипедист поворачивает обратно и едет навстречу пешеходу. Когда они встречаются, пешеходу остаётся пройти 7 км. Следовательно, он прошёл (x-7) от деревни. Значит, в момент встречи пешеход прошёл (x-7), а велосипедист проехал (x+(x - (x-7)) = x + 7). Т.к. скорость велосипедиста в 2 раза больше скорости пешехода, время пешехода равно времени велосипедиста * 2. (x - (x-7)), а не (x-7). Тогда: (2(x-7)) = (x+x-7) Следовательно: (14) км. Расстояние от деревни до станции 14 км. **Ответ:** 14 км.