Задача 10: Решите уравнение $$4^{x + \frac{1}{2}} - 7 \cdot 2^x = 4$$.

Преобразуем уравнение: $$4^{x + \frac{1}{2}} - 7 \cdot 2^x = 4$$ $$4^x \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot 2^x = 4$$ $$4^x \cdot 2 - 7 \cdot 2^x = 4$$ $$(2^x)^2 \cdot 2 - 7 \cdot 2^x = 4$$ Пусть $$t = 2^x$$, тогда уравнение примет вид: $$2t^2 - 7t - 4 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$$ $$t_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$$ $$t_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ Так как $$t = 2^x$$, то $$t > 0$$. Следовательно, $$t = 4$$. $$2^x = 4$$ $$2^x = 2^2$$ $$x = 2$$ Ответ: $$x = 2$$