Задача 10: Школьник решил собрать делитель напряжения, то есть устройство на двух резисторах, соединённых последовательно. При подключении резисторов к источнику питания напряжение делится между этими резисторами. Школьник выбрал соотношение деления 3:1, то есть такое, чтобы отношение напряжения на первом резисторе к напряжению на втором было равно 3. 1) Каким должно быть напряжение источника, если известно, что на первом резисторе падение напряжения 3 В? 2) В качестве первого сопротивления школьник выбрал резистор с номиналом R1 = 6 кОм. Каким сопротивлением тогда должен обладать второй резистор? 3) Первый резистор в схеме прецизионный, то есть его сопротивление задано точно. А второй резистор изготовлен на заводе с точностью ±5%, то есть сопротивление резистора может отличаться от номинального на 5%. В каком диапазоне тогда будет лежать величина напряжения на втором резисторе, если на делитель напряжения подать напряжение 7 В?

Решение: 1) Пусть $$U_1$$ - напряжение на первом резисторе, а $$U_2$$ - напряжение на втором резисторе. По условию, $$\frac{U_1}{U_2} = 3$$. Также известно, что $$U_1 = 3$$ В. Тогда: $$\frac{3}{U_2} = 3$$ $$U_2 = 1$$ В Напряжение источника $$U$$ равно сумме напряжений на резисторах: $$U = U_1 + U_2 = 3 + 1 = 4$$ В Ответ: 4 В 2) Так как резисторы соединены последовательно, ток через них одинаков. Пусть $$I$$ - ток в цепи. Тогда: $$U_1 = I \cdot R_1$$ и $$U_2 = I \cdot R_2$$ Отсюда: $$\frac{U_1}{U_2} = \frac{I \cdot R_1}{I \cdot R_2} = \frac{R_1}{R_2}$$ По условию, $$\frac{U_1}{U_2} = 3$$ и $$R_1 = 6$$ кОм. Следовательно: $$3 = \frac{6}{R_2}$$ $$R_2 = \frac{6}{3} = 2$$ кОм Ответ: 2 кОм 3) Пусть $$R_1$$ - сопротивление первого резистора, а $$R_2$$ - сопротивление второго резистора. Из предыдущего пункта $$R_1 = 6$$ кОм, $$R_2 = 2$$ кОм. Общее сопротивление цепи $$R = R_1 + R_2 = 6 + 2 = 8$$ кОм. Напряжение источника $$U = 7$$ В. Ток в цепи: $$I = \frac{U}{R} = \frac{7}{8} = 0.875$$ мА Номинальное напряжение на втором резисторе: $$U_2 = I \cdot R_2 = 0.875 \cdot 2 = 1.75$$ В Сопротивление второго резистора может отличаться от номинального на 5%, то есть $$R_2$$ может быть в диапазоне от $$2 - 2 \cdot 0.05 = 1.9$$ кОм до $$2 + 2 \cdot 0.05 = 2.1$$ кОм. Соответственно, ток может быть в диапазоне: $$I_{min} = \frac{7}{6 + 2.1} = \frac{7}{8.1} \approx 0.864$$ мА $$I_{max} = \frac{7}{6 + 1.9} = \frac{7}{7.9} \approx 0.886$$ мА Напряжение на втором резисторе будет в диапазоне: $$U_{2min} = I_{min} \cdot R_{2min} = 0.864 \cdot 1.9 \approx 1.64$$ В $$U_{2max} = I_{max} \cdot R_{2max} = 0.886 \cdot 2.1 \approx 1.86$$ В Ответ: от 1.64 В до 1.86 В