Задача 2: Согласно определению, n! - это произведение подряд идущих натуральных чисел от 1 до n. n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n - 1) * n. Найдите, сколькими нулями оканчивается число 170! - 36!

Чтобы найти количество нулей, которыми оканчивается число 170!, нужно определить, сколько раз число 10 встречается в разложении 170! на простые множители. Так как 10 = 2 * 5, нам нужно найти, сколько раз число 5 встречается в разложении 170! (потому что двоек всегда будет больше, чем пятерок).

Для этого делим 170 на степени числа 5:

1. Сколько чисел, делящихся на 5: $$\frac{170}{5} = 34$$
2. Сколько чисел, делящихся на 25 (5^2): $$\frac{170}{25} = 6$$ (берем только целую часть)
3. Сколько чисел, делящихся на 125 (5^3): $$\frac{170}{125} = 1$$ (берем только целую часть)

Складываем полученные значения: 34 + 6 + 1 = 41

Значит, 170! оканчивается на 41 нуль.

Теперь рассмотрим число 36!:

1. Сколько чисел, делящихся на 5: $$\frac{36}{5} = 7$$ (берем только целую часть)
2. Сколько чисел, делящихся на 25 (5^2): $$\frac{36}{25} = 1$$ (берем только целую часть)

Складываем полученные значения: 7 + 1 = 8

Значит, 36! оканчивается на 8 нулей.

170! - 36! = X

Так как 170! оканчивается на 41 нуль, а 36! оканчивается на 8 нулей, то последние 8 цифр 36! - это нули. Значит при вычитании из 170! числа 36! последние 8 нулей у 170! пропадут, поэтому число нулей в результате будет равно количеству нулей в 36!.

Рассуждаем так: представим 170! как A*10^41, а 36! как B*10^8, где A и B - это числа, не оканчивающиеся на 0.

Тогда 170! - 36! = A*10^41 - B*10^8 = 10^8 * (A*10^33 - B)

Поскольку B не делится на 10, выражение (A*10^33 - B) тоже не будет делиться на 10.

Таким образом, число 170! - 36! будет оканчиваться ровно на 8 нулей.

Ответ: 8