Задача 3. (Теплообмен, уравнение теплового баланса) В медном стакане калориметра массой 200 г находится 150 г воды при 18°С. В воду опускают алюминиевый цилиндр массой 100 г, нагретый до 100°С. Определите конечную температуру смеси. Удельные теплоёмкости: воды 4200 Дж/(кг·°С), меди 400 Дж/(кг·°С), алюминия 920 Дж/(кг-°С).

Дано:

• m₁ = 200 г = 0.2 кг (масса стакана)
• m₂ = 150 г = 0.15 кг (масса воды)
• m₃ = 100 г = 0.1 кг (масса цилиндра)
• T₁ = 18 °C (начальная температура воды и стакана)
• T₂ = 100 °C (начальная температура цилиндра)
• c₁ = 400 Дж/(кг·°C) (удельная теплоёмкость меди)
• c₂ = 4200 Дж/(кг·°C) (удельная теплоёмкость воды)
• c₃ = 920 Дж/(кг·°C) (удельная теплоёмкость алюминия)

Найти: T - ?

Решение:

Уравнение теплового баланса:

$$Q_{отд} = Q_{пол}$$ $$Q_{отд} = Q_3 = m_3c_3(T_2 - T)$$

Медный стакан и вода получают тепло:

$$Q_{пол} = Q_1 + Q_2 = m_1c_1(T - T_1) + m_2c_2(T - T_1)$$

Подставим в уравнение теплового баланса:

$$m_3c_3(T_2 - T) = m_1c_1(T - T_1) + m_2c_2(T - T_1)$$

Раскроем скобки:

$$m_3c_3T_2 - m_3c_3T = m_1c_1T - m_1c_1T_1 + m_2c_2T - m_2c_2T_1$$

Сгруппируем члены с T:

$$T(m_1c_1 + m_2c_2 + m_3c_3) = m_3c_3T_2 + m_1c_1T_1 + m_2c_2T_1$$

Выразим T:

$$T = \frac{m_3c_3T_2 + T_1(m_1c_1 + m_2c_2)}{m_1c_1 + m_2c_2 + m_3c_3}$$

Подставим значения:

$$T = \frac{0.1 \cdot 920 \cdot 100 + 18 \cdot (0.2 \cdot 400 + 0.15 \cdot 4200)}{0.2 \cdot 400 + 0.15 \cdot 4200 + 0.1 \cdot 920} = \frac{9200 + 18(80 + 630)}{80 + 630 + 92} = \frac{9200 + 18 \cdot 710}{802} = \frac{9200 + 12780}{802} = \frac{21980}{802} \approx 27.4 \text{ °C}$$

Ответ: 27.4 °C.