Задача 23: Точка H является основанием высоты NH, проведённой из вершины прямого угла N прямоугольного треугольника MNK. Окружность с диаметром NH пересекает стороны NK и NM в точках E и F соответственно. Найди EF, если NH = 18.

Решение: 1. **Понимание условия**: У нас есть прямоугольный треугольник MNK с прямым углом N. NH - высота, опущенная из вершины N на гипотенузу MK. Окружность с диаметром NH пересекает стороны NK и NM в точках E и F соответственно. 2. **Свойство вписанного угла**: Так как EF - хорда, а угол ENF опирается на диаметр NH, то угол ENF прямой. Значит, треугольник ENF - прямоугольный. 3. **Теорема Фалеса и подобные треугольники**: Так как NH - диаметр окружности, то углы NEH и NFH прямые (вписанные углы, опирающиеся на диаметр). Следовательно, NE ⊥ NK и NF ⊥ NM. Это означает, что NE || NM и NF || NK. 4. **Свойства параллельности**: Из-за параллельности NE || NM и NF || NK, треугольник NEF подобен треугольнику NMK. 5. **Подобие треугольников NEF и NMK**: Рассмотрим треугольник NEF. Поскольку углы NEH и NFH прямые, а NH является диаметром, то точки E и F лежат на окружности с диаметром NH. Значит, EF является средней линией треугольника NMK, так как E и F - середины сторон NK и NM соответственно. 6. **Свойство средней линии**: Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, EF || MK и EF = 1/2 * MK. 7. **Выражение MK через NH**: В прямоугольном треугольнике MNK высота NH, опущенная на гипотенузу MK, разбивает его на два подобных треугольника: MNH и NКH. Также треугольники MNH и NКH подобны исходному треугольнику NMK. 8. **Применение теоремы о средней линии**: Т.к. E и F точки пересечения окружности с диаметром NH и сторон NK и NM соответственно, то NEHF - прямоугольник (все углы прямые). Следовательно, EF = NH. 9. **Вычисление EF**: Дано NH = 18. Значит, EF = 18. Ответ: 18 Развернутый ответ: Задача заключается в нахождении длины отрезка EF в прямоугольном треугольнике MNK, где NH - высота, опущенная из вершины прямого угла N на гипотенузу MK. Окружность с диаметром NH пересекает стороны NK и NM в точках E и F соответственно. Нужно найти EF, если NH = 18. Сначала мы определили, что EF - средняя линия треугольника NMK, так как точки E и F являются серединами сторон NK и NM. Зная, что средняя линия равна половине основания, EF = 1/2 * MK. Однако, в ходе решения было выявлено, что EF = NH, т.к NEHF - прямоугольник. Поскольку нам дано, что NH = 18, то и EF = 18. Таким образом, EF = 18.