Задача 13: У Максима есть игрушечные солдатики. Если он построит их в шеренги по три, то останется один лишний солдатик. Если он построит их в шеренги по четыре, то останется три лишних солдатика. Сколько солдатиков останется, если Максим построит их в шеренги по двенадцать? Запишите решение и ответ.

Пусть (x) - количество солдатиков у Максима. Тогда, согласно условию задачи: * При делении на 3, остаток 1: (x \equiv 1 \pmod{3}) * При делении на 4, остаток 3: (x \equiv 3 \pmod{4}) Нужно найти такой (x), который удовлетворяет этим условиям. Перечислим несколько чисел, которые дают остаток 1 при делении на 3: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49... Теперь перечислим несколько чисел, которые дают остаток 3 при делении на 4: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51... Наименьшее число, которое удовлетворяет обоим условиям – это 7. Таким образом, можно сказать, что общее решение имеет вид (x = 12k + 7), где (k) - целое число. Это потому, что наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3 и 4 равно 12. Теперь нужно понять, какой остаток будет при делении (x) на 12. Так как (x = 12k + 7), то при делении (x) на 12 останется 7. **Ответ:** Если Максим построит солдатиков в шеренги по 12, то останется 7 солдатиков.