Задача 16: Углы треугольника ABC относятся как ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3. Биссектриса BM угла ABC равна 4. Найдите длину отрезка MC.

Пусть ∠A = x, тогда ∠B = 2x, ∠C = 3x. Сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому: $$x + 2x + 3x = 180°$$ $$6x = 180°$$ $$x = 30°$$ Значит, ∠A = 30°, ∠B = 2 * 30° = 60°, ∠C = 3 * 30° = 90°. Треугольник ABC – прямоугольный (∠C = 90°). BM – биссектриса угла B, значит, ∠ABM = ∠MBC = ∠B / 2 = 60° / 2 = 30°. Рассмотрим треугольник BMC. В нём ∠MBC = 30°, ∠C = 90°. Следовательно, ∠BMC = 180° - 90° - 30° = 60°. Так как BM – биссектриса угла B и BM = 4, нужно найти MC. В прямоугольном треугольнике BMC тангенс угла ∠MBC равен отношению противолежащего катета MC к прилежащему катету BC: $$tg(∠MBC) = \frac{MC}{BC}$$ В прямоугольном треугольнике ABC тангенс угла ∠A равен отношению противолежащего катета BC к прилежащему катету AC: $$tg(∠A) = \frac{BC}{AC}$$ Выразим BC через AC: $$BC = AC * tg(∠A)$$ Тогда: $$tg(∠MBC) = \frac{MC}{AC * tg(∠A)}$$ Выразим AC через MC: $$AC = \frac{MC}{tg(∠MBC) * tg(∠A)}$$ Подставим значения углов ∠MBC = 30° и ∠A = 30°: $$tg(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Теперь рассмотрим треугольник ABM. В нём ∠ABM = 30°. Используем теорему синусов: $$\frac{BM}{sin(∠A)} = \frac{AM}{sin(∠ABM)}$$ $$AM = \frac{BM * sin(∠ABM)}{sin(∠A)}$$ $$AM = \frac{4 * sin(30°)}{sin(30°)}$$ $$AM = 4$$ Так как AM = MC, то MC = 4 / 2 = 2 Рассмотрим прямоугольный треугольник BMC, где ∠MBC = 30° и BM = 4. Можно воспользоваться тригонометрическими функциями. $$sin(∠MBC) = \frac{MC}{BM}$$ $$sin(30°) = \frac{MC}{4}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{MC}{4}$$ $$MC = 4 * \frac{1}{2} = 2$$ Ответ: 2