Задача 16: Углы треугольника ABC относятся так: ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3. Биссектриса BM угла ABC равна 12. Найдите длину отрезка MC.

Пусть углы треугольника ABC равны (x), (2x) и (3x) соответственно. Сумма углов треугольника равна 180 градусам: \[x + 2x + 3x = 180^{\circ}\] \[6x = 180^{\circ}\] \[x = 30^{\circ}\] Тогда углы треугольника ABC равны: \[\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 90^{\circ}\] Так как BM - биссектриса угла B, то \[\angle ABM = \angle CBM = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}\] Рассмотрим треугольник ABM. В нем \[\angle A = 30^{\circ}, \angle ABM = 30^{\circ}\] Следовательно, треугольник ABM равнобедренный, и (AM = BM = 12). Теперь рассмотрим треугольник BMC. В нем \[\angle C = 90^{\circ}, \angle MBC = 30^{\circ}\] Следовательно, \[\angle BMC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\] Используем соотношение сторон в прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов. Катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы. В нашем случае, MC лежит против угла MBC, равного 30 градусам. Тогда \[BM = 2 cdot MC\] \[12 = 2 cdot MC\] \[MC = 6\] Ответ: MC = 6