Задача 10. В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB и CD, которые пересекаются в точке K. AK = 2, KB = 6, DK = 3. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Привет, ребята! Давайте решим эту интересную задачу по геометрии. **1. Анализ условия и построение чертежа** У нас есть окружность, в которой проведены две перпендикулярные хорды AB и CD, пересекающиеся в точке K. Известны длины отрезков AK, KB и DK. Нужно найти площадь круга. **2. Ключевая идея** Вспомним свойство пересекающихся хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Это позволит нам найти длину отрезка CK. **3. Решение** * Применим свойство пересекающихся хорд: $$AK \cdot KB = CK \cdot DK$$. * Подставим известные значения: $$2 \cdot 6 = CK \cdot 3$$. * Выразим CK: $$CK = \frac{2 \cdot 6}{3} = 4$$. Теперь мы знаем, что $$AK = 2$$, $$KB = 6$$, $$DK = 3$$, $$CK = 4$$. Для нахождения площади круга нам нужен радиус. Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этими хордами. Пусть $$O$$ - центр окружности. Соединим центр $$O$$ с серединами хорд $$AB$$ и $$CD$$. Обозначим середину $$AB$$ за $$M$$, а середину $$CD$$ за $$N$$. Тогда $$AM = MB = (2+6)/2 = 4$$ и $$CN = ND = (3+4)/2 = 3.5$$. Также, $$MK = |AM - AK| = |4 - 2| = 2$$, $$NK = |CN - CK| = |3.5 - 4| = 0.5$$. Т.к. $$OM \perp AB$$ и $$ON \perp CD$$, а $$AB \perp CD$$, то $$OMKN$$ - прямоугольник. Тогда $$OM = NK = 0.5$$ и $$ON = MK = 2$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OMA$$. $$OA^2 = OM^2 + AM^2$$. $$OA = R$$, где $$R$$ - радиус окружности. $$R^2 = (0.5)^2 + 4^2 = 0.25 + 16 = 16.25$$. Площадь круга $$S = \pi R^2 = \pi \cdot 16.25 = 16.25 \pi$$. **Ответ:** Площадь круга равна $$16.25 \pi$$. **4. Развернутый ответ для школьника** Итак, мы решили задачу, используя свойство пересекающихся хорд и теорему Пифагора. Важно помнить, что знание основных свойств и теорем геометрии помогает решать даже сложные задачи. Всегда начинайте с внимательного анализа условия и построения чертежа, чтобы лучше понять взаимосвязи между элементами фигуры. Удачи в учебе!