Задача 18: В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 6.

**Решение:** 1. **Анализ условия:** * ABCD - параллелограмм. * AM - биссектриса угла A. * AM ⊥ DM. * AB = 6. * Нужно найти периметр параллелограмма. 2. **Основные шаги решения:** * Показать, что треугольник AMD - прямоугольный и равнобедренный. * Найти соотношение между сторонами параллелограмма. * Вычислить периметр. 3. **Решение:** * Так как AM - биссектриса угла A, то ∠BAM = ∠MAD. * Поскольку AM ⊥ DM, то ∠AMD = 90°. * В параллелограмме BC || AD, следовательно, ∠BAM = ∠AMD (как накрест лежащие). * Значит, ∠MAD = ∠AMD. * Следовательно, треугольник AMD - равнобедренный, и AM = MD. * Так как в треугольнике AMD ∠AMD = 90°, то это прямоугольный равнобедренный треугольник, значит ∠MAD = ∠MDA = 45°. * Т.к. \(AM \perp DM\), \(\angle AMD = 90^\circ\). В четырехугольнике \(ABMD\) сумма углов равна \(360^\circ\). \(\angle BAD + \angle B = 180^\circ\) (т.к. углы прилежащие к одной стороне параллелограмма) \(\angle BAD = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ\) \(90^\circ + \angle B = 180^\circ\) \(\angle B = 90^\circ\) таким образом, ABCD - прямоугольник. * В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны: AB = CD = 6 и BC = AD. * В треугольнике AMD (прямоугольный и равнобедренный) \(AD = AM\). * Так как AM - биссектриса, \(\angle BAM = \angle MAD\). Так как BC \(||)\ AD, \(\angle BMA = \angle MAD\) как накрест лежащие углы. Значит, \(\angle BMA = \angle BAM\), следовательно, \(\bigtriangleup ABM\) - равнобедренный, значит \(AB=BM = 6\). Тогда \(BC = BM+MC=6+MC\), т.к. AD = BC, то \(AD = 6 + MC\). * \(BM = 6 = AB\). Т.к. \(\bigtriangleup ABM\) - равнобедренный, то \(AD = AM\). Т.к. \(\bigtriangleup AMD\) - равнобедренный прямоугольный, то \(AM = MD = AD\). Тогда \(ABMD\) - квадрат, и все стороны квадрата равны. Т.к. \(AB = 6\), то \(AD = 6\). Т.к. \(BC = AD\), то \(BC = AD = 6 = AB = CD = 6\). * Периметр параллелограмма: P = 2 * (AB + AD) = 2 * (6 + 6) = 2 * 12 = 24. 4. **Ответ:** * Периметр параллелограмма равен 24.