Задача 5: В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=104°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма.

Пусть AB = x, тогда AC = 2x. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому CD = AB = x. Рассмотрим треугольник ACD. По теореме синусов: $$\frac{CD}{\sin{\angle CAD}} = \frac{AC}{\sin{\angle ADC}}$$ $$\frac{x}{\sin{\angle CAD}} = \frac{2x}{\sin{\angle ADC}}$$ $$\sin{\angle ADC}} = 2\sin{\angle CAD}$$ Так как ABCD параллелограмм, то ∠CAD + ∠ACD + ∠ADC = 180°. ∠ADC = 180° - ∠CAD - ∠ACD = 180° - ∠CAD - 104° = 76° - ∠CAD. Пусть ∠CAD = α, тогда ∠ADC = 76° - α. $$\sin{(76° - α)} = 2\sin{α}$$. Решение этого уравнения сложное. Однако, можно заметить, что ∠CAD = 26°, тогда ∠ADC = 50°. И действительно, углы получились допустимыми, поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. ∠DAC = 26°. ∠ADC = 180 - 104 - 26 = 50. ∠BAD = ∠BCD. ∠ABC = ∠ADC = 50. ∠BAC = 180 -50 -26 = 104. Угол между диагоналями равен 180 -104 -30 = 40. ∠DAC = 26°. Угол между диагоналями равен 78°. Ответ: 78°