Задача 109: В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 70, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна $$7\sqrt{19}$$. Найдите sin∠ABC.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. **1. Анализ условия:** У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой. Известны катет AC и высота CH, опущенная на гипотенузу AB. Наша задача – найти синус угла ABC. **2. Вспоминаем формулы:** * Синус угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. * В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, обладает свойством: $$CH^2 = AH \cdot BH$$ * Также полезно вспомнить, что синус острого угла равен косинусу другого острого угла в прямоугольном треугольнике. То есть, $$sin∠ABC = cos∠BAC$$. **3. План решения:** Поскольку у нас есть катет AC, и мы ищем $$sin∠ABC = \frac{AC}{AB}$$, нам нужно найти гипотенузу AB. Мы знаем высоту CH, но не знаем отрезки AH и BH. Тут поможет другой подход. Давайте выразим $$sin∠ABC$$ через $$cos∠BAC$$ и найдем его. **4. Решение:** Рассмотрим треугольник ACH. Он тоже прямоугольный (угол H прямой). Тогда: $$sin∠ABC = cos∠BAC = \frac{AH}{AC}$$ Отсюда следует, что нам нужно найти AH. Теперь вспомним, что площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней. То есть, $$\frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot CH$$ А еще, по теореме Пифагора, $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ Однако, чтобы не усложнять решение через площадь, мы можем использовать подобие треугольников. Треугольники ABC и ACH подобны (у них общий угол A, и оба прямоугольные). Тогда: $$\frac{AC}{AB} = \frac{CH}{BC} = \frac{AH}{AC}$$ Из равенства $$\frac{AH}{AC} = \frac{AC}{AB}$$ находим $$AH$$: $$AH = \frac{AC^2}{AB}$$ А из $$\frac{CH}{BC} = \frac{AC}{AB}$$, получим $$BC = \frac{CH \cdot AB}{AC}$$ Подставляя BC в теорему Пифагора $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$, получаем: $$AB^2 = AC^2 + (\frac{CH \cdot AB}{AC})^2$$ $$AB^2 = AC^2 + \frac{CH^2 \cdot AB^2}{AC^2}$$ Преобразуем уравнение, чтобы выразить AB: $$AB^2(1 - \frac{CH^2}{AC^2}) = AC^2$$ $$AB^2 = \frac{AC^4}{AC^2 - CH^2}$$ Теперь подставим значения $$AC = 70$$ и $$CH = 7\sqrt{19}$$: $$AB^2 = \frac{70^4}{70^2 - (7\sqrt{19})^2} = \frac{70^4}{70^2 - 49 \cdot 19} = \frac{70^4}{4900 - 931} = \frac{70^4}{3969} = \frac{70^4}{63^2}$$ $$AB = \sqrt{\frac{70^4}{63^2}} = \frac{70^2}{63} = \frac{4900}{63} = \frac{700}{9}$$ Теперь, когда мы знаем AB, можем найти AH: $$AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{70^2}{\frac{700}{9}} = \frac{4900}{\frac{700}{9}} = \frac{4900 \cdot 9}{700} = \frac{49 \cdot 9}{7} = 7 \cdot 9 = 63$$ Наконец, находим $$sin∠ABC = cos∠BAC = \frac{AH}{AC} = \frac{63}{70} = \frac{9}{10} = 0.9$$ **5. Ответ:** $$sin∠ABC = 0.9$$ **Развёрнутый ответ для школьника:** Мы решили задачу, используя подобие треугольников и теорему Пифагора. Сначала мы выразили синус угла ABC через косинус угла BAC, что позволило нам искать AH. Затем мы нашли гипотенузу AB, используя теорему Пифагора и известные значения катета AC и высоты CH. После нахождения AB мы вычислили AH и, наконец, нашли синус угла ABC. Ответ получился равным 0.9. Надеюсь, теперь вам понятно, как решать подобные задачи!