Задача 10: В равнобедренном треугольнике ABC высота BM, проведённая к основанию, равна 6, а tg ∠A = 3.6. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение: 1. Обозначим основание равнобедренного треугольника как AC. Тогда BM - высота, проведённая к основанию AC. 2. Нам дано, что $$BM = 6$$ и $$tg(\angle A) = 3.6$$. 3. В прямоугольном треугольнике ABM, где угол AMB равен 90 градусам, тангенс угла A равен отношению противолежащего катета BM к прилежащему катету AM: $$tg(\angle A) = \frac{BM}{AM}$$ 4. Подставим известные значения: $$3.6 = \frac{6}{AM}$$ 5. Выразим AM: $$AM = \frac{6}{3.6} = \frac{60}{36} = \frac{5}{3}$$ 6. Основание AC равно удвоенному AM, так как BM - высота в равнобедренном треугольнике, а значит, и медиана: $$AC = 2 * AM = 2 * \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$$ 7. Площадь треугольника ABC можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} * AC * BM$$ 8. Подставим значения AC и BM: $$S = \frac{1}{2} * \frac{10}{3} * 6 = \frac{10 * 6}{2 * 3} = \frac{60}{6} = 10$$ Ответ: Площадь треугольника ABC равна 10. Развернутый ответ для школьника: Представим, что у нас есть равнобедренный треугольник ABC. Высота, проведённая из вершины B к основанию AC, называется BM. Нам известна высота BM, она равна 6. Ещё нам известен тангенс угла A, который равен 3.6. Нужно найти площадь треугольника ABC. Чтобы решить задачу, сначала найдём, чему равна половина основания, то есть AM. Для этого используем тангенс угла A. Тангенс угла A - это отношение высоты BM к AM. То есть tg(A) = BM / AM. Подставим наши значения: 3.6 = 6 / AM. Значит, AM = 6 / 3.6 = 5/3. Теперь найдём всю длину основания AC. Так как BM является и высотой, и медианой, то AC = 2 * AM = 2 * (5/3) = 10/3. Чтобы найти площадь треугольника ABC, используем формулу: площадь равна половине произведения основания на высоту. То есть S = (1/2) * AC * BM. Подставим значения: S = (1/2) * (10/3) * 6 = 10. Итак, площадь треугольника ABC равна 10.