Задача 3. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, медиана BM равна 3. Площадь треугольника ABC равна 12√7. Найдите длину стороны AB.

Решение: 1. Обозначим сторону AB как x. Так как AB = BC, то BC = x. 2. Медиана BM делит AC пополам, значит AM = MC. 3. Площадь треугольника ABC можно выразить как (S = rac{1}{2} cdot AC cdot BM cdot sin(angle AMB)). 4. Также, можно сказать, что (S = 12sqrt{7}) и (BM = 3). 5. Пусть (AM = MC = y). Тогда (AC = 2y). Площадь треугольника ABC равна (12sqrt{7} = rac{1}{2} cdot 2y cdot 3 cdot sin(angle AMB) = 3y cdot sin(angle AMB)). 6. Рассмотрим треугольник ABM. По теореме косинусов: (AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 cdot AM cdot BM cdot cos(angle AMB)). 7. Тогда (x^2 = y^2 + 3^2 - 2 cdot y cdot 3 cdot cos(angle AMB) = y^2 + 9 - 6y cdot cos(angle AMB)). 8. Выразим (sin(angle AMB)) из формулы площади: (sin(angle AMB) = rac{12sqrt{7}}{3y} = rac{4sqrt{7}}{y}). 9. Так как (sin^2(angle AMB) + cos^2(angle AMB) = 1), то (cos^2(angle AMB) = 1 - sin^2(angle AMB) = 1 - rac{16 cdot 7}{y^2} = 1 - rac{112}{y^2}). 10. (cos(angle AMB) = pm sqrt{1 - rac{112}{y^2}}). 11. Так как медиана BM равна 3, то по формуле площади треугольника: [S = rac{1}{2} cdot AC cdot h = 12sqrt{7}] где h - высота треугольника ABC. Тогда [12sqrt{7} = rac{1}{2} cdot AC cdot h] Поскольку BM - медиана, то AM = MC = AC/2 [AC = 2sqrt{AM^2} = 2sqrt{x^2 - 9}] Площадь равна (S = rac{1}{2} * AC * BM * sin(angle BMA)). Так как медиана BM делит треугольник ABC на два треугольника с равной площадью, то (S_{ABM} = 6sqrt{7}). 12. Высота (h) треугольника ABM равна 3. Тогда: [6sqrt{7} = rac{1}{2} * AM * 3] [AM = 4sqrt{7}] 13. Тогда AC = 2 * AM = 8√7 14. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной (AB): [AB^2 = h^2 + (AC/2)^2] [AB^2 = 3^2 + (4sqrt{7})^2] [AB^2 = 9 + 16 * 7] [AB^2 = 9 + 112] [AB^2 = 121] [AB = sqrt{121}] [AB = 11] Ответ: **11**