Задача 9: В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, AB = 80, \(\sin A = \frac{3}{4}\). Найдите длину отрезка AH.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C прямой, дана высота CH. Нужно найти длину отрезка AH. 1. Найдем сторону BC: Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике: \[\sin A = \frac{BC}{AB}\] Подставим известные значения: \[\frac{3}{4} = \frac{BC}{80}\] Выразим BC: \[BC = \frac{3}{4} \cdot 80 = 60\] 2. Найдем сторону AC: Используем теорему Пифагора для треугольника ABC: \[AB^2 = AC^2 + BC^2\] Подставим известные значения: \[80^2 = AC^2 + 60^2\] \[6400 = AC^2 + 3600\] Выразим AC: \[AC^2 = 6400 - 3600 = 2800\] \[AC = \sqrt{2800} = 20\sqrt{7}\] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH: В этом треугольнике угол A общий, а угол H прямой (так как CH - высота). 4. Найдем AH: Используем косинус угла A в треугольнике ACH: \[\cos A = \frac{AH}{AC}\] Выразим AH: \[AH = AC \cdot \cos A\] 5. Найдем \(\cos A\): Мы знаем \(\sin A\), поэтому можем найти \(\cos A\) используя основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] \[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A\] \[\cos^2 A = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}\] \[\cos A = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\] 6. Подставим найденные значения в формулу для AH: \[AH = 20\sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{20 \cdot 7}{4} = 5 \cdot 7 = 35\] Ответ: AH = 35