Задача 2: В выпуклом четырехугольнике \(ABCD\) диагональ \(BD\) делит угол \(B\) пополам, \(\frac{BD^2}{BC} = AB\). а) Докажите, что \(\angle BAD = \angle BDC\). б) Найдите отношение площадей четырехугольника \(ABCD\) и треугольника \(ABD\), если \(DC = 1.5AD\).

а) Доказательство: 1. Дано: \(BD\) - биссектриса угла \(B\), значит \(\angle ABD = \angle DBC\). Также дано: \(\frac{BD^2}{BC} = AB\), следовательно \(BD^2 = AB \cdot BC\). 2. Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(BDC\). Запишем пропорцию: \[\frac{AB}{BD} = \frac{BD}{BC}\] Так как \(BD\) - биссектриса \(\angle B\), то \(\angle ABD = \angle DBC\). Таким образом, треугольники \(ABD\) и \(BDC\) подобны по двум сторонам и углу между ними (второй признак подобия). 3. Из подобия треугольников следует, что \(\angle BAD = \angle BDC\). б) Найдем отношение площадей четырехугольника \(ABCD\) и треугольника \(ABD\), если \(DC = 1.5AD\). 1. Обозначим \(AD = x\), тогда \(DC = 1.5x\). 2. Пусть \(S_{ABD}\) - площадь треугольника \(ABD\), а \(S_{ABCD}\) - площадь четырехугольника \(ABCD\). Тогда \(S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BDC}\). 3. Так как треугольники \(ABD\) и \(BDC\) подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_{ABD}}{S_{BDC}} = \left(\frac{AD}{DC}\right)^2 = \left(\frac{x}{1.5x}\right)^2 = \left(\frac{1}{1.5}\right)^2 = \frac{1}{2.25} = \frac{4}{9}\] Следовательно, \(S_{BDC} = \frac{9}{4} S_{ABD}\). 4. Тогда площадь четырехугольника \(ABCD\) равна: \[S_{ABCD} = S_{ABD} + \frac{9}{4} S_{ABD} = \frac{4}{4} S_{ABD} + \frac{9}{4} S_{ABD} = \frac{13}{4} S_{ABD}\] 5. Найдем отношение площадей четырехугольника \(ABCD\) и треугольника \(ABD\): \[\frac{S_{ABCD}}{S_{ABD}} = \frac{\frac{13}{4} S_{ABD}}{S_{ABD}} = \frac{13}{4} = 3.25\] **Ответ:** а) \(\angle BAD = \angle BDC\) (доказано). б) \(\frac{S_{ABCD}}{S_{ABD}} = 3.25\)