Задача 1. В выпуклом четырехугольнике ABCD все стороны имеют разные длины. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке O, OC = 5 см, OB = 6 см, OA = 15 см, OD = 18 см. а) Докажите, что четырехугольник ABCD является трапецией. б) Найдите отношение площадей треугольников AOD и BOC.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. **а) Доказательство, что ABCD - трапеция:** Чтобы доказать, что ABCD является трапецией, нам нужно показать, что две стороны четырехугольника параллельны. В данном случае, это будут стороны AD и BC. Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Мы знаем длины сторон, образованных диагоналями: OA = 15 см, OD = 18 см, OB = 6 см, OC = 5 см. Проверим, пропорциональны ли стороны этих треугольников: \(\frac{OA}{OC} = \frac{15}{5} = 3\) \(\frac{OD}{OB} = \frac{18}{6} = 3\) Так как \(\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB}\), то стороны треугольников AOD и BOC пропорциональны. Кроме того, углы \(\angle AOD\) и \(\angle BOC\) равны, как вертикальные углы. По признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники AOD и BOC подобны. Из подобия этих треугольников следует равенство углов: \(\angle OAD = \angle OCB\) и \(\angle ODA = \angle OBC\). Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых AD и BC и секущих AC и BD. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые AD и BC параллельны. Следовательно, четырехугольник ABCD, у которого две стороны (AD и BC) параллельны, является трапецией. Что и требовалось доказать. **б) Нахождение отношения площадей треугольников AOD и BOC:** Так как треугольники AOD и BOC подобны, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия мы уже нашли при доказательстве подобия треугольников: \(k = \frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB} = 3\) Отношение площадей треугольников AOD и BOC: \(\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2 = 3^2 = 9\) Таким образом, площадь треугольника AOD в 9 раз больше площади треугольника BOC. **Ответ:** а) Четырехугольник ABCD является трапецией. б) Отношение площадей треугольников AOD и BOC равно **9**.