Задача 1: Дано: \cup AM : \cup MB = 6:5. Найти: \angle BAM

Решение:

• Углы \angle AMB и \angle AOB - центральные, а \angle ACB - вписанный.
• Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Пусть \cup AM = 6x, тогда \cup MB = 5x.
• Полная окружность равна 360°.
• \cup AM + \cup MB = 360° (если M - точка на окружности). Но по рисунку M - точка на окружности, а \angle AMB - вписанный угол.
• Обозначим \cup AM = 6x, \cup MB = 5x.
• \angle AMB = \frac{1}{2} \cup AB = \frac{1}{2} (6x + 5x) = \frac{11x}{2}.
• \angle BAM - вписанный угол, опирается на дугу MB.
• \angle BAM = \frac{1}{2} \cup MB = \frac{1}{2} (5x) = 2.5x.
• \angle ABM - вписанный угол, опирается на дугу AM.
• \angle ABM = \frac{1}{2} \cup AM = \frac{1}{2} (6x) = 3x.
• В \triangle ABM: \angle AMB + \angle BAM + \angle ABM = 180°.
• \frac{11x}{2} + 2.5x + 3x = 180°.
• 5.5x + 5.5x = 180°.
• 11x = 180°.
• x = \frac{180}{11}°.
• \angle BAM = 2.5x = 2.5 * \frac{180}{11} = \frac{5}{2} * \frac{180}{11} = \frac{5 * 90}{11} = \frac{450}{11} \approx 40.91°.
• Важно: В условии задачи, похоже, опечатка. Если \angle AMB = 140°, то это центральный угол, опирающийся на дугу AB.
• Если \angle AOB = 140° (центральный), то \cup AB = 140°.
• \cup AM = \frac{6}{11} \cup AB = \frac{6}{11} * 140° = \frac{840}{11}°.
• \cup MB = \frac{5}{11} \cup AB = \frac{5}{11} * 140° = \frac{700}{11}°.
• \angle BAM - вписанный, опирается на \cup MB.
• \angle BAM = \frac{1}{2} \cup MB = \frac{1}{2} * \frac{700}{11} = \frac{350}{11} \approx 31.82°.
• Предполагая, что 140° - это дуга AB, а не угол.

Ответ: \angle BAM = \frac{350}{11}°