Задача 2: Дано: \angle CMB = 72°, \cup CB = 110°. Найти: \cup BD

Решение:

• \angle CMB - вписанный угол, опирающийся на дугу CB.
• По определению вписанного угла, он равен половине дуги, на которую опирается: \angle CMB = \frac{1}{2} \cup CB.
• В условии дано \angle CMB = 72° и \cup CB = 110°.
• Это противоречие, так как \frac{1}{2} * 110° = 55°, а не 72°.
• Предположим, что 72° - это величина дуги MB, а 110° - величина дуги CB.
• Тогда \angle CMB - это угол, опирающийся на дугу CB.
• Если \angle CMB = 72°, то \cup CB = 2 * 72° = 144°.
• Если \cup CB = 110°, то \angle CMB = \frac{1}{2} * 110° = 55°.
• Рассмотрим другой вариант: 72° - это величина дуги MB.
• \cup CB = 110°.
• \angle ADB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB.
• \angle ACB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB.
• \angle CAB - вписанный угол, опирающийся на дугу CB, следовательно \angle CAB = \frac{1}{2} \cup CB = \frac{1}{2} * 110° = 55°.
• \angle CBA - вписанный угол, опирающийся на дугу CA.
• Предположим, что 72° - это \angle AMB, а 110° - \cup CB.
• Если \angle AMB = 72°, то \cup AB = 2 * 72° = 144°.
• \cup CB = 110°.
• \cup AC = 360° - \cup AB - \cup CB = 360° - 144° - 110° = 106°.
• \angle ABD - вписанный, опирается на \cup AD.
• \angle ACD - вписанный, опирается на \cup AD.
• \angle BAC = 55°.
• \angle ABC - вписанный, опирается на \cup AC. \angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC = \frac{1}{2} * 106° = 53°.
• \angle BCA - вписанный, опирается на \cup AB. \angle BCA = \frac{1}{2} \cup AB = \frac{1}{2} * 144° = 72°.
• В \triangle ABC: \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 55° + 53° + 72° = 180°. Верно.
• Нужно найти \cup BD.
• \angle BCD - вписанный, опирается на \cup BD.
• \angle BAD - вписанный, опирается на \cup BD.
• \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 72° + \angle ACD.
• \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 55° + \angle CAD.
• Возвращаемся к условию: \angle CMB = 72° и \cup CB = 110°.
• Если \angle CMB = 72°, то это вписанный угол, опирающийся на дугу CB. Значит \cup CB = 2 * 72° = 144°. Но в условии дано \cup CB = 110°. Противоречие.
• Предположим, что 72° - это \angle CAB (или \angle DAB).
• Если \angle CAB = 72°, то \cup CB = 2 * 72° = 144°. Снова противоречие.
• Предположим, что 72° - это \angle CBA (или \angle DBA).
• Если \angle CBA = 72°, то \cup CA = 2 * 72° = 144°.
• \cup CB = 110°.
• \cup AB = 360° - \cup CA - \cup CB = 360° - 144° - 110° = 106°.
• Рассмотрим рисунок. \angle CMB = 72° выглядит как центральный угол, но M - точка на окружности. AB - диаметр.
• Если AB - диаметр, то \cup ACB = 180° и \cup ADB = 180°.
• \cup CB = 110°.
• \cup AC = 180° - \cup CB = 180° - 110° = 70°.
• \angle CMB = 72° - это вписанный угол, опирающийся на дугу CB. Тогда \cup CB = 2 * 72° = 144°. Снова противоречие.
• Возможно, M - точка пересечения хорд. Но это не указано.
• Если \angle CMB = 72° - это вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Тогда \cup AB = 2 * 72° = 144°.
• \cup CB = 110°.
• \cup AC = 360° - \cup AB - \cup CB = 360° - 144° - 110° = 106°.
• Рассмотрим случай, когда \angle CMB = 72° - это угол, образованный пересечением хорд AC и BD.
• Тогда \angle CMB = \frac{1}{2} (\cup CB + \cup AD) = 72°.
• \cup CB = 110°.
• \frac{1}{2} (110° + \cup AD) = 72°.
• 110° + \cup AD = 144°.
• \cup AD = 144° - 110° = 34°.
• Нам нужно найти \cup BD.
• \cup BD = 360° - \cup CB - \cup AD - \cup AC.
• Мы не знаем \cup AC.
• Если AB - диаметр, то \cup ACB = 180°.
• \cup CB = 110°. \cup AC = 180° - 110° = 70°.
• \cup AD = 34°.
• \cup BD = 180° - \cup AD = 180° - 34° = 146°.
• Проверим: \cup AB = \cup AC + \cup CB = 70° + 110° = 180°. Верно, AB - диаметр.
• \angle CMB = 72°. Если M - точка пересечения хорд AC и BD, то \angle CMB = \frac{1}{2} (\cup CB + \cup AD) = \frac{1}{2} (110° + 34°) = \frac{1}{2} * 144° = 72°. Верно.

Ответ: \cup BD = 146°