Задача 1. Из двух пунктов, расстояние между которыми составляет 80 км, навстречу друг другу по прямой должны выехать два велосипедиста, скорости которых постоянны. Если второй велосипедист выедет на 3 ч позже первого, то он встретит первого велосипедиста через 2 ч после начала своего движения. Если второй велосипедист выедет на 2 ч раньше первого, то он встретит первого велосипедиста через 4 ч после начала своего движения. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого велосипедиста, а \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста.

Условие 1: Второй велосипедист выезжает на 3 часа позже первого и встречается с ним через 2 часа после своего выезда. Это означает, что первый велосипедист ехал \( 2 + 3 = 5 \) часов.

Расстояние, пройденное первым велосипедистом: \( S_1 = v_1 · 5 \)

Расстояние, пройденное вторым велосипедистом: \( S_2 = v_2 · 2 \)

Так как они ехали навстречу друг другу и расстояние между пунктами 80 км, то \( S_1 + S_2 = 80 \).

\( 5v_1 + 2v_2 = 80 \) (1)

Условие 2: Второй велосипедист выезжает на 2 часа раньше первого и встречается с ним через 4 часа после своего выезда. Это означает, что первый велосипедист ехал \( 4 - 2 = 2 \) часа.

Расстояние, пройденное первым велосипедистом: \( S'_1 = v_1 · 2 \)

Расстояние, пройденное вторым велосипедистом: \( S'_2 = v_2 · 4 \)

\( S'_1 + S'_2 = 80 \).

\( 2v_1 + 4v_2 = 80 \) (2)

Теперь решим систему уравнений:

1. \( 5v_1 + 2v_2 = 80 \)
2. \( 2v_1 + 4v_2 = 80 \)

Из уравнения (2) выразим \( v_1 \): \( 2v_1 = 80 - 4v_2 \) \( → \) \( v_1 = 40 - 2v_2 \).

Подставим это в уравнение (1):

\( 5(40 - 2v_2) + 2v_2 = 80 \)

\( 200 - 10v_2 + 2v_2 = 80 \)

\( 200 - 8v_2 = 80 \)

\( 8v_2 = 200 - 80 \)

\( 8v_2 = 120 \)

\( v_2 = \frac{120}{8} = 15 \) км/ч.

Теперь найдём \( v_1 \):

\( v_1 = 40 - 2v_2 = 40 - 2 · 15 = 40 - 30 = 10 \) км/ч.

Ответ: Скорость первого велосипедиста — 10 км/ч, скорость второго велосипедиста — 15 км/ч.