Задача 2. За 4 часа движения по течению реки и за 2 часа движения по озеру катер прошёл 162 километра. За 5 часов движения против течения реки он проходит на 35 километров больше, чем за 3 часа движения по озеру. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки.

Решение:

Пусть \( v_k \) — скорость катера в стоячей воде, а \( v_t \) — скорость течения реки.

Скорость катера по течению: \( v_k + v_t \).

Скорость катера против течения: \( v_k - v_t \).

Условие 1: За 4 часа по течению и 2 часа по озеру катер прошёл 162 км.

\( (v_k + v_t) · 4 + v_k · 2 = 162 \)

\( 4v_k + 4v_t + 2v_k = 162 \)

\( 6v_k + 4v_t = 162 \)

Разделим на 2: \( 3v_k + 2v_t = 81 \) (1)

Условие 2: За 5 часов против течения катер проходит на 35 км больше, чем за 3 часа по озеру.

Расстояние против течения: \( (v_k - v_t) · 5 \).

Расстояние по озеру: \( v_k · 3 \).

\( (v_k - v_t) · 5 = v_k · 3 + 35 \)

\( 5v_k - 5v_t = 3v_k + 35 \)

\( 5v_k - 3v_k - 5v_t = 35 \)

\( 2v_k - 5v_t = 35 \) (2)

Теперь решим систему уравнений:

1. \( 3v_k + 2v_t = 81 \)
2. \( 2v_k - 5v_t = 35 \)

Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2, чтобы избавиться от \( v_t \):

\( (3v_k + 2v_t) · 5 = 81 · 5 \) \( → \) \( 15v_k + 10v_t = 405 \)

\( (2v_k - 5v_t) · 2 = 35 · 2 \) \( → \) \( 4v_k - 10v_t = 70 \)

Сложим полученные уравнения:

\( (15v_k + 10v_t) + (4v_k - 10v_t) = 405 + 70 \)

\( 19v_k = 475 \)

\( v_k = \frac{475}{19} = 25 \) км/ч.

Теперь найдём \( v_t \), подставив \( v_k \) в уравнение (1):

\( 3 · 25 + 2v_t = 81 \)

\( 75 + 2v_t = 81 \)

\( 2v_t = 81 - 75 \)

\( 2v_t = 6 \)

\( v_t = 3 \) км/ч.

Ответ: Скорость катера в стоячей воде — 25 км/ч, скорость течения реки — 3 км/ч.