Задача 1. На рисунке изображён прямоугольный параллелепипед. Обоснованно ответьте на вопросы: 1. Пересекаются ли указанные пары прямых: а) DB₁ и DC; б) AA₁ и CC₁? 2. Возможно ли провести плоскость через указанные пары прямых: а) AD и B₁C₁; б) D₁C₁ и D₁B; в) BC и AA₁? 3. Найти проекцию указанных прямых на плоскость p = AA₁B₁B: а) прₚ BC; б) прₚ A₁B₁.

1. Пересечение прямых.

а) DB₁ и DC пересекаются в точке D: обе прямые проходят через неё.

б) AA₁ и CC₁ не пересекаются: это параллельные вертикальные рёбра параллелепипеда.

2. Можно ли провести плоскость через прямые?

а) AD и B₁C₁ параллельны, поэтому через них можно провести плоскость.

б) D₁C₁ и D₁B пересекаются в точке D₁, поэтому через них можно провести плоскость.

в) BC и AA₁ — скрещивающиеся прямые: они не пересекаются и не параллельны. Одной плоскости, содержащей обе прямые, провести нельзя.

3. Проекции на плоскость p = AA₁B₁B.

а) BC перпендикулярна плоскости p и пересекает её в точке B, поэтому её проекция — точка B: прₚ BC = B.

б) Прямая A₁B₁ лежит в плоскости p, поэтому прₚ A₁B₁ = A₁B₁.