Задача 1. Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение:

Данная задача сводится к нахождению числа сочетаний из 10 элементов по 4, так как порядок выбора книг не имеет значения.

Формула для числа сочетаний: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Где \( n \) — общее количество элементов (10 книг), \( k \) — количество выбираемых элементов (4 книги).

1. Подставим значения в формулу: \( C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} \)
2. Распишем факториалы: \( \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6!} \)
3. Сократим \( 6! \): \( \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \)
4. Выполним вычисления: \( \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} = 10 \times 3 \times 7 = 210 \)

Ответ: 210 способов.