Задача 1. Пункты а–г. а) В классе 34 ученика. Докажите, что среди них найдутся по меньшей мере двое, у которых фамилии начинаются с одной и той же буквы. б) В бору 600 000 сосен, и на каждой из них не более 500 000 иголок. Докажите, что в этом бору найдутся две сосны с одинаковым количеством иголок. в) В Москве живёт более 10 миллионов человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое число волос на голове, если известно, что у любого человека на голове менее миллиона волос. г) В школе 20 классов. В ближайшем доме живёт 23 ученика этой школы. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два одноклассника?

а) У фамилии может быть одна из 33 букв русского алфавита. Если бы у всех 34 учеников первые буквы фамилий были разными, потребовалось бы 34 разные буквы. Таких букв только 33. Следовательно, как минимум у двух учеников фамилии начинаются с одной буквы.

б) Число иголок на сосне — целое от 0 до 500 000 включительно, то есть возможны 500 001 значения. Сосен 600 000, что больше числа возможных значений. Значит, по принципу Дирихле хотя бы две сосны имеют одинаковое количество иголок.

в) Число волос — целое неотрицательное число меньше 1 000 000, поэтому возможны не более 1 000 000 значений. Людей в Москве больше 10 000 000 — это больше числа значений. Следовательно, у как минимум двух человек одинаковое число волос.

г) Да. Распределим 23 учеников по 20 классам. Если бы в каждом классе среди них был не более чем один ученик, таких учеников было бы не более 20. Поскольку их 23, в каком-то классе окажутся как минимум двое — одноклассники.