Задача 1. Точка D лежит на отрезке AB, причём BD : BA = 1 : 4. Через точку A проведена плоскость β, через точку D — отрезок DD₁, параллельный α. Прямая BD₁ пересекает плоскость β в точке C. а) Докажите подобие △DBD₁ и △ABC. б) Найдите DD₁, если AC = 12 см.

В условии не указано, как связаны плоскости α и β. Для подобия треугольников необходимо, чтобы DD₁ была параллельна AC (например, если α и β — параллельные плоскости, а AC лежит в β). При этом условии:

а) Так как A, D, B лежат на одной прямой, а B, D₁, C — на одной прямой, угол B общий для треугольников DBD₁ и ABC. Кроме того, DD₁ ∥ AC, поэтому соответствующие углы при этих параллельных прямых равны. Следовательно, △DBD₁ ∼ △ABC по двум углам.

б) Из подобия следует, что \(\dfrac{DD₁}{AC}=\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{1}{4}\). Тогда \(DD₁=12:4=3\) см.

Ответ: при условии DD₁ ∥ AC треугольники подобны, DD₁ = 3 см. Без связи между α и β доказать подобие по приведённому условию нельзя.