Задача 1: Точки M и K лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MP и KT к прямой b равны (MP = KT). а) Докажите, что ∠PMK = ∠TKM. б) Найдите угол ∠MKT, если ∠KMP = 35°.

а) Рассмотрим треугольники \(MPK\) и \(KTM\). Поскольку \(MP\perp b\) и \(KT\perp b\), углы \(MPK\) и \(KTM\) прямые. Гипотенуза \(MK\) у треугольников общая, а катеты \(MP\) и \(KT\) равны по условию. Значит, треугольники равны по гипотенузе и катету. Поэтому соответствующие углы равны: \(\angle PMK=\angle TKM\).

б) Угол \(\angle KMP\) равен \(\angle PMK\), так как это один и тот же угол между лучами \(MK\) и \(MP\). По доказанному \(\angle PMK=\angle TKM\), а \(\angle TKM=\angle MKT\) — один и тот же угол между лучами \(KT\) и \(KM\). Следовательно, \(\angle MKT=35^\circ\).

Ответ: а) \(\angle PMK=\angle TKM\); б) \(35^\circ\).