Задача 1: Точки M и K лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MP и KT прямой b равны (MP = KT). а) Докажите, что ∠PMK = ∠TKM. б) Найдите угол ∠MKT, если ∠KMP = 35°.

а) Так как MP и KT перпендикулярны одной и той же прямой b, то MP ∥ KT. По условию MP = KT. Четырёхугольник MPTK является параллелограммом, поэтому MK ∥ PT.

Углы ∠PMK и ∠TKM являются углами, образованными параллельными прямыми, поэтому они равны:

\(\angle PMK=\angle TKM\).

б) Углы \(\angle KMP\) и \(\angle PMK\) — один и тот же угол, а углы \(\angle TKM\) и \(\angle MKT\) также равны как углы, образованные теми же лучами. Поэтому:

\(\angle MKT=\angle TKM=\angle PMK=\angle KMP=35^\circ\).

Ответ: \(\angle MKT=35^\circ\).

Замечание: при буквальном понимании условия как перпендикуляров из M и K к одной прямой b из равенства MP = KT следует также MK ∥ b, поэтому оба указанных угла были бы прямыми. Вероятно, в условии есть неточность в формулировке.