Задача №1. В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A₁C₁. а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN. б) Найдите периметр этого сечения.

а) Обозначим через M середину ребра B₁C₁. Сечение — четырёхугольник ABMN: точки A, B лежат в нижнем основании, а N, M — в верхнем. Отрезки AB и MN параллельны; плоскость пересекает боковые грани по AN и BM.

б) MN — средняя линия треугольника A₁B₁C₁, поэтому MN = 3. Так как N и M — середины соответствующих рёбер, горизонтальная проекция AN равна половине стороны основания, то есть 3, а вертикальная составляющая равна высоте призмы 4. Следовательно, AN = BM = √(3² + 4²) = 5.

Периметр: P = AB + BM + MN + NA = 6 + 5 + 3 + 5 = 19.

Ответ: сечение ABMN; его периметр равен 19.