Задача №3. В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник со стороной 8. Высота призмы равна 3. Точка N — середина ребра A₁C₁. а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN. б) Найдите площадь этого сечения.

а) Обозначим через M середину ребра B₁C₁. Сечение — четырёхугольник ABMN: AB и MN параллельны, AN и BM лежат в боковых гранях призмы.

б) В основании сечения параллельные стороны равны AB = 8 и MN = 4, поскольку MN — средняя линия верхнего основания. Расстояние между ними в плоскости сечения равно длине отрезка, перпендикулярного AB, от A до N. Его составляющие: половина высоты равностороннего основания по направлению от AB к AC и высота призмы. Поэтому d = √((4√3)² + 3²) = √57.

Площадь трапеции: S = ((8 + 4) / 2) · √57 = 6√57.

Ответ: площадь сечения равна 6√57.