Задача 1. В тетраэдре DRKO точки A, B и C — середины рёбер DR, DK, DO соответственно. а) Доказать, что плоскости (RKO) и (ABC) параллельны. б) Найти площадь треугольника RKO, если S△ABC = 10 см².

а) В треугольнике DRK точки A и B — середины сторон DR и DK. Поэтому по теореме о средней линии AB ∥ RK.

В треугольнике DKO точки B и C — середины сторон DK и DO, значит, BC ∥ KO.

Прямые AB и BC пересекаются в плоскости (ABC), а параллельные им прямые RK и KO пересекаются в плоскости (RKO). Следовательно, плоскости (ABC) и (RKO) параллельны.

б) Гомотетия с центром D и коэффициентом 2 переводит A, B, C соответственно в R, K, O. Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:

\(S_{RKO}=2^2S_{ABC}=4\cdot10=40\) см².

Ответ: а) (RKO) ∥ (ABC); б) 40 см².