Задача 1. Велосипедист едет по парковой дорожке и планирует выехать из парка через один из пяти выходов (А, Б, В, Г или Д). Велосипедист едет только вперед и на каждой развилке случайным образом выбирает одну из дорожек, по которой еще не ехал. Какова вероятность того, что велосипедист покинет парк: а) через выход Б; б) через выход Д? Какова сумма вероятностей всех возможных элементарных событий?

Сначала определим вероятности на развилках по схеме. На первой развилке велосипедист выбирает одну из двух дорожек с вероятностью \(\frac12\). Если он едет к левой развилке, то выбирает выход А или Б; если к правой — В, Г или Д.

а) Чтобы выехать через Б, нужно выбрать левую дорожку, а затем выход Б. Поэтому \(P(Б)=\frac12\cdot\frac12=\frac14\).

б) Чтобы выехать через Д, нужно выбрать правую дорожку, а затем одну из трёх дорожек, ведущих к выходам В, Г и Д. Поэтому \(P(Д)=\frac12\cdot\frac13=\frac16\).

Все элементарные события — выезды через пять выходов. Их вероятности: \(P(А)=\frac14\), \(P(Б)=\frac14\), а для каждого из выходов В, Г и Д вероятность равна \(\frac16\). Проверка: \(\frac14+\frac14+\frac16+\frac16+\frac16=1\).

Ответ: а) \(\frac14\); б) \(\frac16\); сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.