Задача 1: Высота CD прямоугольного треугольника ABC отсекает от гипотенузы AB отрезок, равный 9 см, отрезок AD = 4 см. Докажите, что \(\triangle ABC \sim \triangle ACD\). Найдите CD.

Привет, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. **1. Доказательство подобия треугольников \(\triangle ABC\) и \(\triangle ACD\):** * \(\angle BAC\) – общий угол для обоих треугольников. * \(\angle ACB = 90^\circ\) (так как \(\triangle ABC\) прямоугольный) и \(\angle ADC = 90^\circ\) (так как CD - высота). * Следовательно, \(\triangle ABC \sim \triangle ACD\) по двум углам (первый признак подобия треугольников). **2. Нахождение CD:** Так как \(\triangle ABC \sim \triangle ACD\), то соответствующие стороны пропорциональны. Это значит, что: \(\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AC}\) Отсюда можно выразить \(AC^2\): \(AC^2 = AD \cdot AB\) Подставим известные значения: \(AD = 4\) см и \(AB = 9\) см. \(AC^2 = 4 \cdot 9 = 36\) \(AC = \sqrt{36} = 6\) см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ACD\). В нем мы знаем \(AD = 4\) см и \(AC = 6\) см. Используем теорему Пифагора, чтобы найти CD: \(AC^2 = AD^2 + CD^2\) \(CD^2 = AC^2 - AD^2\) \(CD^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20\) \(CD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) см. **Ответ:** \(CD = 2\sqrt{5}\) см. Развёрнутый ответ для школьника: Мы доказали, что треугольники ABC и ACD подобны, потому что у них есть общий угол и оба они прямоугольные. Затем, используя подобие, мы нашли сторону AC. А зная AC и AD, мы применили теорему Пифагора в маленьком треугольнике ACD, чтобы найти высоту CD. Получилось, что CD равно \(2\sqrt{5}\) см.