Задача 13. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 120. Найдите её среднюю линию.

Привет! Давай решим эту задачу по геометрии.

Дано:

• Трапеция описана около окружности.
• Периметр трапеции P = 120.

Найти: Среднюю линию трапеции (m).

Свойства:

1. Свойство описанной трапеции: Если трапеция описана около окружности, то сумма её боковых сторон равна сумме оснований. Пусть основания трапеции равны 'a' и 'b', а боковые стороны - 'c' и 'd'. Тогда:

\[ c + d = a + b \]

Это свойство следует из того, что касательные, проведенные из одной вершины к вписанной окружности, равны.

2. Средняя линия трапеции: Средняя линия трапеции (m) равна полусумме её оснований:

\[ m = \frac{a + b}{2} \]

Решение:

1. Связываем периметр и среднюю линию: Периметр трапеции P = a + b + c + d.
2. Используем свойство описанной трапеции: Поскольку c + d = a + b, мы можем переписать периметр так:

\[ P = (a + b) + (c + d) = (a + b) + (a + b) = 2(a + b) \]

Значит, периметр равен удвоенной сумме оснований: P = 2 * (a + b).

1. Находим сумму оснований: Из формулы периметра:

\[ a + b = \frac{P}{2} \]

Подставляем значение периметра:

\[ a + b = \frac{120}{2} = 60 \]

1. Находим среднюю линию: Теперь мы можем найти среднюю линию, используя её определение:

\[ m = \frac{a + b}{2} \]

Подставляем найденную сумму оснований:

\[ m = \frac{60}{2} \]

\[ m = 30 \]

Ответ: Средняя линия трапеции равна 30.